Question

Доказать что число 16 в двадцатой степени + 2 в семьдесят шестой степени делятся на 17

Answer 1

Решение находится в файле

Answer 2

Давайте докажем, что число $16^{20} + 2^{76}$ делится на 17 с помощью малой теоремы Ферма.

Малая теорема Ферма гласит, что если $p$ - простое число, и $a$ - целое число, не делящееся на $p$, то:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

Для нашего случая $p = 17$, поэтому мы будем использовать $p-1 = 16$.

Теперь давайте рассмотрим выражение $16^{20} + 2^{76}$:

$16^{20} + 2^{76}$

Так как $16 = 2^4$, мы можем переписать $16^{20}$ как $(2^4)^{20} = 2^{4 \cdot 20} = 2^{80}$.

Теперь у нас есть:

$2^{80} + 2^{76}$

Мы видим, что в обоих слагаемых есть множитель 2. Мы можем вынести 2 вне скобок:

$2^{76}(2^4 + 1)$

Теперь, используя малую теорему Ферма для $p = 17$, мы знаем, что:

$2^{16} \equiv 1 \pmod{17}$

Следовательно, $2^{80} \equiv (2^{16})^5 \equiv 1^5 \equiv 1 \pmod{17}$.

Теперь у нас есть:

$2^{76}(2^4 + 1) \equiv 1 \cdot (16 + 1) \equiv 17 \equiv 0 \pmod{17}$

Таким образом, число $16^{20} + 2^{76}$ действительно делится на 17, что и требовалось доказать.