Question

две стороны треугольника равны 4 см и 7 см. а косинус угла между ними равен (-2 _7 минус две седьмых дробь) определите синусы всех углов данного треугольника и его третью сторону

Answer 1

Третья сторона по теореме косинусов:Синус угла с известным косинусом находим через основное тождество:Синусы углов А и В - по теореме синусов:

Answer 2

Для определения синусов углов данного треугольника и его третьей стороны, мы можем использовать законы синусов и косинусов. Первым шагом будет определение косинуса угла между заданными сторонами.

Известно, что:

a = 4 см (длина одной из сторон) b = 7 см (длина другой стороны) cos(α) = -2/7 - 2/7 = -4/7

Теперь мы можем найти синус угла α, используя тригонометрическое тождество:

sin^2(α) + cos^2(α) = 1

sin^2(α) + (-4/7)^2 = 1

sin^2(α) + 16/49 = 1

sin^2(α) = 1 - 16/49

sin^2(α) = 33/49

sin(α) = √(33/49)

sin(α) = √33/7

Теперь у нас есть синус угла α. Давайте найдем второй угол бета, используя тот факт, что сумма углов треугольника равна 180 градусов (π радиан):

α + β + γ = π

где γ - угол между третьей стороной и стороной длиной 7 см (b).

Таким образом:

β = π - α - γ

Мы знаем синус α и косинус α, и можем найти синус γ, используя косинус угла γ:

cos(γ) = b / c

где c - длина третьей стороны.

cos(γ) = 7 / c

Теперь мы можем выразить синус γ, используя тригонометрическое тождество:

sin^2(γ) + cos^2(γ) = 1

sin^2(γ) + (7/c)^2 = 1

sin^2(γ) + 49/c^2 = 1

sin^2(γ) = 1 - 49/c^2

sin(γ) = √(1 - 49/c^2)

Теперь мы можем найти β:

β = π - α - γ β = π - arcsin(√33/7) - arcsin(√(1 - 49/c^2))

Наконец, чтобы найти третью сторону c, мы можем использовать закон косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(γ)

c^2 = 4^2 + 7^2 - 2 * 4 * 7 * cos(γ)

c^2 = 16 + 49 - 56 * cos(γ)

Теперь у нас есть выражение для c^2. Мы также знаем синус γ. Мы можем решить это уравнение относительно c:

c^2 = 65 - 56 * cos(γ)

c = √(65 - 56 * cos(γ))

Теперь у нас есть значения синусов для всех углов (α, β и γ) и длина третьей стороны (c).