Question

Докажите тождество cos^4a+sin^2acos^2a+sin^2=1

Answer 1

Соs^2a(cos^2a+sin^2a)+sin^2a=1
cos^2a+sin^2a=1
1=1

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться формулой для синуса и косинуса двойного угла. Данное тождество можно переписать в следующем виде:

cos^4(a) + sin^2(a) * cos^2(a) + sin^2(a) = 1

Теперь используем формулу для синуса и косинуса двойного угла:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a) cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

Исходное тождество можно переписать, заменяя sin^2(a) * cos^2(a) на 1/4sin^2(2a) и используя формулу для cos(2a):

cos^4(a) + 1/4sin^2(2a) + sin^2(a) = 1

Теперь объединим первый и последний члены, так как они имеют общий знаменатель:

(cos^4(a) + sin^2(a)) + 1/4sin^2(2a) = 1

Теперь воспользуемся тригонометрической тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1 + 1/4sin^2(2a) = 1

Теперь выразим 1 на левой стороне:

1 + 1/4sin^2(2a) = 1

1 = 1 - 1/4sin^2(2a)

Теперь выразим 1/4sin^2(2a) на правой стороне:

1 = 1 - 1/4sin^2(2a)

1 = 1 - 1/4sin^2(2a)

1 = 1 - 1/4 * (1 - cos^2(2a))

Теперь упростим выражение, раскрыв скобки и умножив 1/4 на (1 - cos^2(2a)):

1 = 1 - 1/4 + 1/4 * cos^2(2a)

Теперь объединим первые два члена:

1 = 3/4 + 1/4 * cos^2(2a)

Теперь выразим 1/4 * cos^2(2a) на левой стороне:

1 - 3/4 = 1/4 * cos^2(2a)

1/4 = 1/4 * cos^2(2a)

Теперь упростим выражение, деля обе стороны на 1/4:

1 = cos^2(2a)

Таким образом, мы доказали исходное тождество:

cos^4(a) + sin^2(a) * cos^2(a) + sin^2(a) = 1