Question

Помогите с уравнениями Найти частное решение дифференциального уравнения: x+1/x dx - y-1/y dy= 0, если при x = 0,5, y= 2 ctg x- y'tg y = 0, если при x = П/6, y =0

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{x+1}{x}dx - \int \frac{y-1}{y}dy =0\; ,\; \; x=0,5\; ,\; y=2\; \; \Rightarrow \; \; y(0,5)=2\\\\ \int (1+\frac{1}{x} )dx=\int (1- \frac{1}{y} )dy\\\\x+ln|x|=y-ln|y|+C\\\\y(0,5)=2\; :\; \; \; 0,5+ln0,5=2-ln2+C\; ,\\\\C=0,5-2+ln\frac{1}{2}+ln2\\\\C=-1,5+ln(\frac{1}{2}\cdot 2)\\\\C=-1,5+ln1\; ,\; \; ln1=0\\\\C=-1,5\\\\Chastnoe\; reshenie\; :\; \; \; x+ln|x|=y-ln|y|-1,5$

$2)\; \; ctgx-y'\cdot tgy=0\; ,\; \; x=\frac{\pi}{6}\; ,\; \; y=0\; \; \Rightarrow \; \; y(\frac{\pi}{6})=0\\\\y'= \frac{ctgx}{tgy} \\\\ \frac{dy}{dx}= \frac{ctgx}{tgy} \\\\ \int tgy\cdot dy =\int ctgx\cdot dx\\\\-ln|cosy|=\ln|sinx|-lnC \\\\lnC=ln|sinx|+ln|cosy|\\\\lnC=ln(sinx\cdot cosy)$

$C=sinx\cdot cosy\; \; -\; \; obshee\; reshenie\\\\y(\frac{\pi }{6} )=0\; :\; \; C=sin\frac{\pi}{6}\cdot cos0\\\\C=\frac{1}{2}\cdot 1\\\\C=\frac{1}{2}\; \; \Rightarrow \\\\Chastnoe\; reshenie:\; \; sinx\cdot cosy=\frac{1}{2}$

Answer 2

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения, начнем с его интегрирования. Уравнение выглядит следующим образом:

(x + 1/x)dx - (y - 1/y)dy = 0

Разделим это уравнение на части, содержащие переменные x и y:

(x + 1/x)dx = (y - 1/y)dy

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(x + 1/x)dx = ∫(y - 1/y)dy

Интегралы слева и справа вычисляются следующим образом:

∫(x + 1/x)dx = (1/2)x^2 + ln|x| + C1

∫(y - 1/y)dy = (1/2)y^2 - ln|y| + C2

Где C1 и C2 - константы интегрирования.

Теперь мы имеем:

(1/2)x^2 + ln|x| + C1 = (1/2)y^2 - ln|y| + C2

Теперь давайте используем начальные условия, чтобы найти константы C1 и C2.

Когда x = 0.5, y = 2ctg(x), мы можем подставить эти значения:

(1/2)(0.5)^2 + ln|0.5| + C1 = (1/2)(2ctg(0.5))^2 - ln|2ctg(0.5)| + C2

Упростим это уравнение:

(1/8) + ln(0.5) + C1 = (1/2)(2ctg(0.5))^2 - ln(2ctg(0.5)) + C2

Теперь, когда x = π/6, y = 0, мы можем подставить эти значения:

(1/2)(π/6)^2 + ln(π/6) + C1 = (1/2)(2ctg(π/6))^2 - ln(2ctg(π/6)) + C2

Упростим это уравнение:

(1/72) + ln(π/6) + C1 = (1/2)(2/√3)^2 - ln(2/√3) + C2

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными C1 и C2:

1. (1/8) + ln(0.5) + C1 = (1/2)(2ctg(0.5))^2 - ln(2ctg(0.5)) + C2

2. (1/72) + ln(π/6) + C1 = (1/2)(2/√3)^2 - ln(2/√3) + C2

Вы можете решить эту систему уравнений численно, чтобы найти значения C1 и C2. Эти значения позволят вам найти частное решение вашего дифференциального уравнения.