Question

У=х²+5х-6 Исследование функции

Answer 1

1) берем производную:
y'=2x+5;
2) проверяем на четность/нечетность:
квадр функция и не четная и не нечетная;
3)ищем экстремиумы, возрастание/убывание:
2x+5=0;
2x=-5; x=-2,5;
у=-12,25; экстремиум: (-2,5;-12,25);
функция возрастает на: x=[-2,5;+беск)
убывает: x=(-беск;-2,5]
точка минимума: (-2,5;-12,25)
берем 2 производную:
y''=2; y>0, значит функция вогнутая;

Answer 2

Давайте проведем исследование функции У = х² + 5х - 6.

Функция: У = х² + 5х - 6

1. Определение области определения: Функция определена для всех действительных значений х, так как х², 5х и -6 определены для любого действительного числа.

2. Нули функции (корни уравнения У = 0): Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение х² + 5х - 6 = 0. Мы можем решить это уравнение факторизацией или используя квадратное уравнение.

Факторизация: (х + 6)(х - 1) = 0 Отсюда получаем два решения: х = -6 и х = 1.

3. Знак функции в интервалах: Давайте определим знак функции в разных интервалах, используя найденные нули:

• Если х < -6, то х² положительное, 5х отрицательное, -6 отрицательное. Следовательно, функция положительна.
• Если -6 < х < 1, то х² положительное, 5х отрицательное, -6 отрицательное. Следовательно, функция отрицательна.
• Если х > 1, то х² положительное, 5х положительное, -6 отрицательное. Следовательно, функция положительна.

4. Экстремумы: Для нахождения экстремумов (минимумов или максимумов) функции, нужно найти точки, в которых производная равна нулю.

Производная функции У: У' = 2х + 5

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение: 2х + 5 = 0 х = -2.5

Теперь проверим вторую производную в этой точке, чтобы определить, является ли экстремум точкой минимума или максимума.

Вторая производная: У'' = 2 (всегда положительное число)

Так как вторая производная положительна, то точка х = -2.5 является точкой минимума функции.

5. Поведение функции на бесконечностях: При стремлении х к бесконечности (положительной или отрицательной), функция тоже будет стремиться к бесконечности положительной величины.

6. Парабола: Функция У = х² + 5х - 6 представляет собой параболу, которая открывается вверх, так как коэффициент при х² положителен.

Таким образом, исследование функции позволяет нам понять её основные характеристики, включая нули, знаки на разных интервалах, экстремумы и форму параболы.

Answer 3

Давайте проведем исследование функции $f(x) = x^2 + 5x - 6$. Для этого мы рассмотрим различные аспекты функции, такие как область определения, интервалы возрастания и убывания, экстремумы, точки перегиба и график функции.

1. Область определения: Функция $f(x)$ определена для всех действительных чисел $x$, так как она является квадратичной функцией, которая имеет действительные корни.

2. Первая производная: Вычислим производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 + 5x - 6) = 2x + 5.$

3. Нахождение экстремумов: Для нахождения экстремумов приравниваем производную к нулю и решаем уравнение $2x + 5 = 0$: $2x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}.$

Подставляя значение $x$ в исходную функцию, получаем значение $y$: $y = f\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{25}{2} - 6 = -\frac{35}{4}.$

Итак, у нас есть точка экстремума $(-5/2, -35/4)$.

4. Интервалы возрастания и убывания: Из производной $f'(x) = 2x + 5$ видно, что она положительна при $x > -\frac{5}{2}$ и отрицательна при $x < -\frac{5}{2}$. Следовательно, функция возрастает на интервале $\left(-\infty, -\frac{5}{2}\right)$ и убывает на интервале $\left(-\frac{5}{2}, +\infty\right)$.

5. Вторая производная и точки перегиба: Вычислим вторую производную функции: $f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (2x + 5) = 2.$ Так как вторая производная постоянна и положительна, у функции нет точек перегиба.

6. График функции: На основе проведенного анализа можно построить следующий график функции:

На этом графике видно, что функция имеет минимум в точке $(-5/2, -35/4)$, а также что она возрастает до точки минимума и убывает после неё.

Итак, это было краткое исследование функции $f(x) = x^2 + 5x - 6$, включающее в себя область определения, экстремумы, интервалы возрастания и убывания, отсутствие точек перегиба и график функции.