Question

Найдите А и B, если А (а;2) и b(4;b) симметричны относительно С (-1;-2)

Answer 1

Точки А, В и C  лежат на одной прямой
Уравнение этой прямой  имеет вид у=kx+m
Для нахождения k   и m   подставим координаты точек
2=ka+m
b=4k+m
-2=-k+m
и
АС=BC
(AC)²=(-1-a)²+(-2-2)²
BC²=(-1-4)²+(-2-b)²

(-1-a)²+(-2-2)²=(-1-4)²+(-2-b)²

1+2a+a²+16=25+4+4b+b²

Получили систему 4-х уравнений
{2=ka+m
{b=4k+m
{-2=-k+m
{a²+2a=b²+4b+12

{b+2=5k  ⇒  k=(b+2)/5
{m=-2+k  ⇒  m=(b-8)/5
{18=ab+2a+b  ⇒  a=(-18-b)/(b+2)
{(-18-b)²/(b+2)² +(-36-2b)/(b+2)=b²+4b+12⇒

⇒252-4b-b²=(b²+4b+12)·(b+2)²
(b²+4b)+(b²+4b+12)·(b²+4b+4)-252=0
Замена переменной
b²+4b=t
t+(t+12)·(t+4)-252=0
t²+17t-204=0
D=289-4·(-204)

Может быть ошиблась в вычислениях? Не знаю.Идея понятна.

Answer 2

Для того чтобы две точки были симметричны относительно данной точки (в данном случае точки C), расстояние между каждой из них и точкой C должно быть одинаковым. Мы можем использовать это свойство для нахождения значений точек A и B.

Дано: A(a, 2) B(4, b) C(-1, -2)

Расстояние между точкой A и C: d(A, C) = √((a - (-1))^2 + (2 - (-2))^2) = √((a + 1)^2 + 16)

Расстояние между точкой B и C: d(B, C) = √((4 - (-1))^2 + (b - (-2))^2) = √((5)^2 + (b + 2)^2)

Так как точки A и B симметричны относительно точки C, расстояния d(A, C) и d(B, C) должны быть равными:

√((a + 1)^2 + 16) = √(25 + (b + 2)^2)

Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(a + 1)^2 + 16 = 25 + (b + 2)^2

a^2 + 2a + 1 + 16 = 25 + b^2 + 4b + 4

a^2 + 2a + 17 = b^2 + 4b + 29

Переносим все члены на одну сторону:

a^2 + 2a - b^2 - 4b + 12 = 0

Теперь у нас есть уравнение, связывающее переменные a и b:

a^2 + 2a - b^2 - 4b + 12 = 0

Это уравнение является общим выражением для точек A и B, симметричных относительно C(-1, -2). Выражение A(a, 2) и B(4, b) обычно предполагает, что одна из координат точки уже известна, но в данном случае нам не известны значения a и b. Если бы вы могли предоставить дополнительную информацию о значениях a или b, мы могли бы конкретно решить это уравнение.