Question

Показательные уравнения: 1. (1/3)^2x = 162 - (1/3)^x-2 2. (1/2)^2x = 32 + (1/2)^x-2

Answer 1

1. (1/3)²ˣ = 162 - (1/3)ˣ-2
Замена переменной:
(1/3)ˣ=t;  t>0
t²+(1/3)⁻²·t -162=0
t²+9t-162=0
D=81+4·162=81·(1+8)=81·9=(9·3)²=27²
t=(-9-27)/2=-18 <0 не удовл условию t>0  или 
t=(-9+27)/2=9

(1/3)ˣ=9
x=-2
О т в е т. -2.

2. (1/2)²ˣ = 32 + (1/2)ˣ-2
Замена переменной:
(1/2)ˣ=t;  t>0
t²-(1/2)⁻²·t -32=0
t²-4t-32=0
D=16+4·32=16·(1+8)=16·9=(4·3)²=12²
t=(4-12)/2=-4 <0 не удовл условию t>0  или 
t=(4+12)/2=8

(1/2)ˣ=8
x=-3
О т в е т. -3.

Answer 2

Для решения этих уравнений сначала давайте заметим, что в обоих уравнениях есть одинаковое выражение вида (1/3)^x-2 (в первом уравнении) и (1/2)^x-2 (во втором уравнении). Давайте обозначим это выражение как y:

1. Уравнение: (1/3)^(2x) = 162 - y
2. Уравнение: (1/2)^(2x) = 32 + y

Теперь мы можем решать эти уравнения относительно y:

1. y = 162 - y 2y = 162 y = 81

2. y = 32 + y 0 = 32 (это не имеет решения)

Однако, кажется, что во втором уравнении произошла ошибка в условии. Подставив y = 81 во второе уравнение, получим:

(1/2)^(2x) = 32 + 81 (1/4)^x = 113

Такое уравнение не имеет рациональных решений, потому что 113 не может быть представлено в виде степени дроби 1/4.

Итак, первое уравнение имеет решение: (1/3)^(2x) = 162 - 81 (1/9)^x = 81 1/9 = 81^(1/x) 1 = (81^(1/x))^2 1 = 81^(2/x) 1 = 3^(4/x)

Теперь можно найти значение x: 4/x = 0 x = 4

Итак, у первого уравнения есть единственное решение: x = 4.