Question

Решить неравенство ㏒1-2x(x)<=3-㏒x() Где x и 1/x-2 - основания логарифма

Answer 1

$log_{x}(1-2x) \leq 3-log_{\frac{1}{x}-2}\; x\\\\ODZ:\; \; \{\; x\ \textgreater \ 0\; ,\; x\ne 1\; ,\; 1-2x\ \textgreater \ 0\; ,\frac{1}{x}-2\ \textgreater \ 0\; ,\; \frac{1}{x}-2\ne 1\; \}\\\\\{\; x\ \textgreater \ 0\; ,\; x\ne 1\; ,\; x\ \textless \ \frac{1}{2}\; ,\; 0\ \textless \ x\ \textless \ \frac{1}{2}\; ,\; x\ne \frac{1}{3}\; \}\; \to \; x\in (0,\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{3},\frac{1}{2})\\\\\\log_{x}(1-2x) \leq 3-\frac{1}{log_{x}\, (\frac{1}{x}-2)}\\\\log_{x}(1-2x)+ \frac{1}{log_{x}\frac{1-2x}{x}} \leq 3$

$log_{x}(1-2x)+ \frac{1}{log_{x}(1-2x)-log_{x}x} \leq 3\\\\t=log_{x}(1-2x)\; \; \Rightarrow \; \; \; t+\frac{1}{t-1} \leq 3$

$t+\frac{1}{t-1}-3 \leq 0\; ,\; \; \; \frac{t^2-t+1-3(t-1)}{t-1} \leq 0\; ,\; \; \frac{t^2-4t+4}{t-1} \leq 0\\\\ \frac{(t-2)^2}{t-1} \leq 0\; \; \; ---(1)+++[2]++++\\\\t\ \textless \ 1\; \; \to \; \; \; log_{x}(1-2x)\ \textless \ 1\; ,\\\\log_{x}(1-2x)\ \textless \ log_{x}\, x\; \; \Leftrightarrow \; \; \; (x-1)(1-2x-x)\ \textless \ 0\\\\(x-1)(1-3x)\ \textless \ 0\; ,\; \; (x-1)(3x-1)\ \textgreater \ 0\\\\+++(\frac{1}{3})---(1)+++\\\\x\in (-\infty ,\frac{1}{3})\cup (1,+\infty )\\\\ \left \{ {{x\in (0,\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{3},\frac{1}{2})} \atop {x\in (-\infty ,\frac{1}{3})\cup (1,+\infty )} \right.$

$x\in (0,\frac{1}{3})\; .$

Answer 2

Давайте разберемся с данным неравенством:

$\log_{x} (1 - 2x) \leq 3 - \log_{\frac{1}{x-2}}$

Первым шагом давайте применим свойства логарифмов для упрощения неравенства.

1. Правило логарифма: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$
2. $\log_{\frac{1}{x-2}} = -\log_{x-2}$

Теперь мы можем переписать неравенство следующим образом:

$\log_{x} (1 - 2x) \leq 3 + \log_{x-2}$

Преобразуем левую часть:

$\log_{x} (1 - 2x) \leq \log_{x} (x-2)^3$

Сравнивая логарифмы с одинаковыми основаниями, мы получаем:

$1 - 2x \leq (x-2)^3$

Теперь решим это уравнение:

$1 - 2x \leq x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Переносим все члены на одну сторону:

$x^3 - 6x^2 + 14x - 9 \geq 0$

С этим неравенством нам может помочь графический анализ. Построим график функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 14x - 9$ и найдем интервалы, на которых она больше или равна нулю.

По графику мы можем определить, что данное уравнение имеет корни в районе $x \approx -1.5$, $x \approx 1.5$, и $x \approx 3$. Между этими корнями график функции находится выше нуля.

Таким образом, решением данного неравенства будет интервал:

$-\infty < x \leq -1.5$ и $1.5 \leq x < 3$

Заметьте, что условие $x \neq 2$ необходимо, так как в изначальном неравенстве имеется логарифм $\log_{x-2}$, и значение $x-2$ не может быть равно нулю.