Question

Решить систему sin x+sin y=1/2, sin x*sin y=-1/2

Answer 1

Sinx + siny = 1/2
sinx * siny = -1/2

sinx = 1/2 - siny
(1/2 - siny)*siny = -1/2

sinx = 1/2 - siny
1/2siny - sin²y + 1/2 = 0

siny = t
1/2t - t² + 1/2 = 0
t² - 1/2t - 1/2 = 0
2t² - t - 1 = 0
t = 1
t = -1/2

siny = 1
siny = -1/2


sinx₁ = 1/2 - siny₁
siny₁ = 1

sinx₁ = -1/2
siny₁ = 1

x₁ = -π/6 + 2πn
x₂ = -5π/6 + 2πn
y₁ = π/2 + 2πn

sinx₃ = 1/2 - siny₂
siny₂ = -1/2

sinx₃ = 1
siny₂ = -1/2

x₃ = π/2 + 2πn
y₂ = -π/6 + 2πn
y₃ = -5π/6 + 2πn

Ответ: (π/2 + 2πn; -π/6 + 2πn); (π/2 + 2πn; -5π/6 + 2πn); (-π/6 + 2πn; π/2 + 2πn); (-5π/6 + 2πn; π/2 + 2πn); n∈Z

Answer 2

Для решения данной системы уравнений используем метод подстановки. Начнем с выразления одной из переменных через другую из первого уравнения и подставим это выражение во второе уравнение.

Из первого уравнения получаем: sin y = 1/2 - sin x.

Подставим это во второе уравнение: sin x * (1/2 - sin x) = -1/2.

Распределим и упростим уравнение: 1/2 * sin x - sin^2(x) = -1/2, sin^2(x) - 1/2 * sin x - 1/2 = 0.

Теперь решим это уравнение квадратным способом. Обозначим sin x как t: t^2 - (1/2) * t - 1/2 = 0.

Решим квадратное уравнение: t^2 - (1/2) * t - 1/2 = 0, (2t + 1)(t - 1/2) = 0.

Отсюда получаем два значения для t:

1. 2t + 1 = 0 => t = -1/2,
2. t - 1/2 = 0 => t = 1/2.

Теперь найдем значения sin x для обоих случаев:

1. sin x = -1/2,
2. sin x = 1/2.

Теперь подставим эти значения в первое уравнение для каждого случая и найдем соответствующие значения y:

1. При sin x = -1/2: sin y = 1/2 - sin x = 1/2 - (-1/2) = 1. Так как sin y не может быть больше 1, это решение не подходит.

2. При sin x = 1/2: sin y = 1/2 - sin x = 1/2 - 1/2 = 0. Так как sin y = 0, следовательно, y = 0 или y = π.

Итак, система имеет два решения:

1. x = π/6, y = 0,
2. x = π/6, y = π.