Question

Помогите решить log7(x-1)+log 7(x-7)<1

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом. Начнем с обобщенной формулы для логарифмов:

$\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$.

Используя эту формулу, мы можем объединить логарифмы в данном неравенстве:

$\log_7((x - 1) \cdot (x - 7)) < 1$.

Теперь избавимся от логарифма, возводив обе стороны неравенства в седьмую степень:

$(x - 1) \cdot (x - 7) < 7$.

Раскроем скобки:

$x^2 - 8x + 7 < 7$.

Вычитаем 7 с обеих сторон:

$x^2 - 8x < 0$.

Теперь факторизуем левую сторону:

$x(x - 8) < 0$.

Теперь рассмотрим знаки множителей $x$ и $x - 8$ на интервалах между корнями:

1. Когда $x < 0$, оба множителя отрицательны, значит, их произведение положительно.
2. Когда $0 < x < 8$, множитель $x$ положителен, а $x - 8$ отрицателен, следовательно, их произведение отрицательно.
3. Когда $x > 8$, оба множителя положительны, и их произведение снова положительно.

Таким образом, неравенство $x(x - 8) < 0$ выполняется для интервала $0 < x < 8$.

Итак, решение данного неравенства: $0 < x < 8$.