Question

представьте дробь x-7/x^2+x-2 в виде суммы 2-ух дробей, знаменатели которых являются двучленами первой степени с целыми коэффициентами .

Answer 1

$\frac{x-7}{ x^{2} +x-2}= \frac{x-7}{(x-1)(x+2)} = \frac{a(x+2)}{x-1} + \frac{b(x-1)}{x+2} = \frac{ax+2a+bx-b}{(x-1)(x+2)} = \frac{x(a+b)+2a-b}{(x-1)(x+2)} \\ \\ \left \{ {{a+b=1} \atop {2a-b= -7}} \right. \left \{ {{a+b=1} \atop {3a=-6}} \right. \left \{ {{b=1-a} \atop {a=-2}} \right. \left \{ {{b=1+2} \atop {a=-2}} \right. \left \{ {{b=3} \atop {a=-2}} \right. \\ \\ \\ [tex] \frac{x-7}{ x^{2} +x-2} = \frac{x-7}{(x-1)(x+2)}= \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+2} = \frac{-2}{x-1} + \frac{3}{x+2}=- \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}-\frac{2}{x-1}$

Answer 2

Данная дробь может быть представлена в виде суммы двух дробей с целыми коэффициентами в знаменателях следующим образом:

$\frac{x - 7}{x^2 + x - 2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2},$

где $A$ и $B$ — коэффициенты, которые нам предстоит найти.

Для нахождения $A$ и $B$ давайте найдем общий знаменатель справа:

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} = \frac{A(x + 2)}{x^2 + x - 2} + \frac{B(x - 1)}{x^2 + x - 2}.$

Теперь объединим дроби с общим знаменателем:

$\frac{A(x + 2) + B(x - 1)}{x^2 + x - 2}.$

Мы хотим, чтобы числитель в этой дроби соответствовал числителю исходной дроби $x - 7$:

$A(x + 2) + B(x - 1) = x - 7.$

Раскроем скобки:

$Ax + 2A + Bx - B = x - 7.$

Теперь сгруппируем слагаемые с $x$ и свободные слагаемые:

$(A + B)x + (2A - B) = x - 7.$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях уравнения, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} A + B = 1, \\ 2A - B = -7. \end{cases}$

Решая эту систему, найдем значения $A$ и $B$. Сначала сложим два уравнения:

$A + B + 2A - B = 1 - 7,$

$3A = -6,$

$A = -2.$

Подставим $A$ в первое уравнение системы:

$-2 + B = 1,$

$B = 3.$

Таким образом, $A = -2$ и $B = 3$. Теперь мы можем записать исходную дробь в виде суммы двух дробей:

$\frac{x - 7}{x^2 + x - 2} = \frac{-2}{x - 1} + \frac{3}{x + 2}.$