Question

Докажите неравенство b(a^2+1)+a(b^2+1) больше или равно 4ab (a больше или равно нулю; b больше или равно нулю) Подробно 30 баллов

Answer 1

B(a² + 1) + a(b² + 1) ≥ 4ab

1) b(a² + 1) ≥ 2ab
b(a² + 1) - 2ab ≥ 0
b(a² - 2a + 1) ≥ 0
b(a - 1)² ≥ 0       
Т.к. b ≥ 0, (a - 1)² ≥ 0, то неравенство верно

2) a(b² + 1) ≥ 2ab    
a(b² + 1) - 2ab ≥ 0   
a(b² - 2b + 1) ≥ 0         
a(b - 1)² ≥ 0
Т.к. a ≥ 0, (b - 1)² ≥ 0, то неравенство верно

Складывая неравенства (1) и (2), получаем:
b(a² + 1)  + a(b² + 1)  ≥ 2ab + 2ab
b(a² + 1)  + a(b² + 1)  ≥ 4ab, что и требовалось доказать 

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Давайте разберемся подробно:

Шаг 1: База индукции При a = 0 и b = 0 неравенство принимает вид 0(0^2 + 1) + 0(0^2 + 1) ≥ 4 * 0 * 0, что очевидно верно.

Шаг 2: Индукционное предположение Предположим, что неравенство выполняется для некоторых положительных целых чисел a и b, то есть: b(a^2 + 1) + a(b^2 + 1) ≥ 4ab.

Шаг 3: Доказательство для a + 1 Теперь докажем, что неравенство выполняется для a + 1, при условии, что оно выполняется для a. Рассмотрим следующее выражение:

b((a + 1)^2 + 1) + (a + 1)(b^2 + 1).

Раскроем квадрат и выполним умножения:

b(a^2 + 2a + 1 + 1) + (a + 1)(b^2 + 1) = b(a^2 + 1) + 2ab + b + ab^2 + a + 1.

По предположению индукции, у нас есть, что b(a^2 + 1) + a(b^2 + 1) ≥ 4ab.

Добавим это неравенство к нашему выражению и учтем, что 2ab ≥ 2b и ab^2 ≥ b:

b(a^2 + 1) + 2ab + b + ab^2 + a + 1 ≥ 4ab + 2b + a + 1.

Сгруппируем члены:

4ab + 2b + a + 1 = 4ab + (2b + a + 1).

Так как a и b положительные целые числа, то 2b + a + 1 > 0.

Следовательно, мы получили:

b(a^2 + 1) + (a + 1)(b^2 + 1) ≥ 4ab + (2b + a + 1) > 4ab.

Шаг 4: Заключение Из базы индукции и индукционного шага следует, что неравенство b(a^2 + 1) + a(b^2 + 1) ≥ 4ab выполняется для всех положительных целых чисел a и b.

Таким образом, неравенство доказано методом математической индукции.