Question

В треугольнике АВС проведена медиана АМ . Найдите угол АМС если углы ВАС и ВСА равны 45 и 30 соответственно

Answer 1

∠ABC = 180° - (45° + 30°) = 105°

По теореме синусов:
a : sin 45° = c : sin 30°
a = c · √2/2 : (1/2) = c√2

b : sin 105° = c : sin 30°

Найдем sin 105° :
sin 105° = sin (90° + 15°) = cos 15°
cos 15 = cos( \frac{30}{2} ) = \sqrt{ \frac{cos 30 + 1}{2} } = \sqrt{ \frac{ \sqrt{3}+2 }{4} } = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{4+2 \sqrt{3} }{ 2 } }
cos15= \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ ( \sqrt{3}+1 )^{2} }{2} } = \frac{ \sqrt{3}+1 }{2 \sqrt{2} }

b = c · sin105° : sin 30° = 2c · 1/2 · (√3 + 1)/√2 = c · (√3 + 1)/√2

m² = (b² + c²)/2 - a²/4
m² = (c · (√3 + 1)/√2)²/2 + c²/2 - 2c²/4 = c²(√3 + 1)²/4
m = c · (√3 + 1)/2 = b/√2

По теореме синусов из ΔАМС:

m : sin 30° = b : sinα
sinα = 1/2 · b / m = b/(2m) = b / (2 · b/√2) = √2/2

Так как α тупой угол, α = 135°

Answer 2

Давайте воспользуемся свойствами медиан треугольника.

Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам и образует прямой угол с вершиной треугольника, к которой она проведена. Таким образом, мы имеем следующую ситуацию:

bashCopy code
      B
     / \
    /   \
  A/_____\M
  / \   / \
 /___\ /___\
C    S     V

Здесь:

• A, B и C - вершины треугольника ABC
• M - середина стороны BC (точка пересечения медианы с BC)
• S - середина стороны AC
• V - середина стороны AB

Известно, что угол ВАС = 45° и угол ВСА = 30°.

Мы также знаем, что медиана M является биссектрисой угла АМС. Так как угол ВАС = 45°, то угол ВАМ = 45° / 2 = 22.5°. А так как угол ВСА = 30°, то угол САМ = 30° / 2 = 15°.

Теперь мы можем найти угол АМС, используя свойство суммы углов треугольника:

Угол АМС = угол ВАМ + угол САМ = 22.5° + 15° = 37.5°.

Итак, угол АМС равен 37.5°.