Question

Доказать, что: а) 4 в степени 7 минус 8 в степени 3 делится на 31 б) 9 в степени 9 плюс 27 в степени 5 делится на 84 в)2 в степени 23 минус 4 в степени 11 плюс 8 в степени 7 делится на 48

Answer 1

а)(4*4*4*4*4*4*4-8*8*8):31=512 P.s.все что в скобках выходит 15.872
б)(9*9*9*9*9*9*9*9*9+27*27*27*27*27):84=4.782.969 P.s.все что в скобках выходит 401.769.396
в)Прости это решить не могу(

Answer 2

Для доказательства этих утверждений, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма и свойствами деления.

Малая теорема Ферма утверждает, что если p - простое число, то для любого целого числа a, не делящегося на p, выполняется a^(p-1) ≡ 1 (mod p), где ≡ обозначает сравнение по модулю.

а) Для доказательства того, что 4^7 - 8^3 делится на 31, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма для p = 31:

4^(31-1) ≡ 1 (mod 31) 4^30 ≡ 1 (mod 31)

Теперь мы можем выразить 4^7 как (4^30)^k * 4^7, где k - некоторое целое число:

4^7 ≡ 4^7 * 1 ≡ 4^37 (mod 31)

Аналогично для 8^3:

8^3 ≡ 8^(31-1) * 8^2 ≡ 8^30 * 8^2 ≡ 8^32 (mod 31)

Теперь мы можем выразить исходное выражение:

4^7 - 8^3 ≡ 4^37 - 8^32 (mod 31)

Теперь давайте заметим, что 4^37 и 8^32 делятся на 31 (по малой теореме Ферма), поэтому их разность также будет делиться на 31. Таким образом, 4^7 - 8^3 делится на 31.

б) Для доказательства того, что 9^9 + 27^5 делится на 84, давайте рассмотрим отдельно оба слагаемых:

9^9 ≡ 9^(84*108 + 9) ≡ (9^84)^108 * 9^9 ≡ 1^108 * 9^9 ≡ 9^9 (mod 84)

27^5 ≡ (27^4)^1 * 27 ≡ 1^1 * 27 ≡ 27 (mod 84)

Теперь мы можем выразить исходное выражение:

9^9 + 27^5 ≡ 9^9 + 27 ≡ 9^9 + 27^1 (mod 84)

Так как оба слагаемых делятся на 3 (по определению), то и их сумма также делится на 3. Также заметим, что 9^9 делится на 9, и 27^1 делится на 27, поэтому их сумма также делится на 9. Таким образом, 9^9 + 27^5 делится на 3 и на 9, следовательно, оно делится на 84.

в) Для доказательства того, что 2^23 - 4^11 + 8^7 делится на 48, давайте рассмотрим отдельно каждое слагаемое:

2^23 ≡ 2^(48*479 + 23) ≡ (2^48)^479 * 2^23 ≡ 1^479 * 2^23 ≡ 2^23 (mod 48)

4^11 ≡ (4^8)^1 * 4^3 ≡ 1^1 * 4^3 ≡ 4^3 (mod 48)

8^7 ≡ (8^6)^1 * 8 ≡ 64^1 * 8 ≡ 16 * 8 ≡ 128 ≡ 32 (mod 48)

Теперь мы можем выразить исходное выражение:

2^23 - 4^11 + 8^7 ≡ 2^23 - 4^3 + 32 (mod 48)

Так как 2^23 и 4^3 делятся на 8, а также 2^23 и 32 делятся на 16, то их разность также будет делиться на 8 и на 16, а значит, она также будет делиться на 48. Таким образом, 2^23 - 4^11 + 8^7 делится на 48.