Question

Решить неравенство (с графиком) 1) 2cos2x>-1 2) 2sin4x>=-1

Answer 1

$2 \cos(2x) > - 1 \\ 2 \sin(4x) \geqslant - 1$

Answer 2

Давайте решим данные неравенства и построим их графики. Начнем с первого неравенства:

1. $2\cos(2x) > -1$

Для начала, давайте разделим обе стороны неравенства на 2:

$\cos(2x) > -\frac{1}{2}$

Теперь найдем интервалы, на которых это неравенство выполняется. Для этого рассмотрим график функции $\cos(2x)$, который имеет период $\pi$, и его значения на интервале $[0, \pi]$:

$$\begin{array}{c|c} x & \cos(2x) \\ \hline 0 & 1 \\ \frac{\pi}{4} & 0 \\ \frac{\pi}{2} & -1 \\ \frac{3\pi}{4} & 0 \\ \pi & 1 \\ \end{array}$$

Мы видим, что $\cos(2x)$ принимает значения в диапазоне от -1 до 1. Следовательно, интервалы, где $\cos(2x) > -\frac{1}{2}$, это интервалы, где $-\frac{\pi}{3} < 2x < \frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3} < 2x < \frac{7\pi}{3}$, так как на этих интервалах $\cos(2x)$ принимает значения больше $-\frac{1}{2}$. Давайте выразим $x$:

$-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$

Теперь давайте рассмотрим второе неравенство:

2. $2\sin(4x) \geq -1$

Разделим обе стороны на 2:

$\sin(4x) \geq -\frac{1}{2}$

Аналогично предыдущему неравенству, рассмотрим график функции $\sin(4x)$ на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$:

$$\begin{array}{c|c} x & \sin(4x) \\ \hline 0 & 0 \\ \frac{\pi}{8} & \frac{1}{2} \\ \frac{\pi}{4} & 1 \\ \end{array}$$

Мы видим, что $\sin(4x)$ принимает значения в диапазоне от -1 до 1. Таким образом, интервалы, где $\sin(4x) \geq -\frac{1}{2}$, это интервалы, где $0 \leq 4x \leq \frac{\pi}{6}$ и $\pi \leq 4x \leq \frac{7\pi}{6}$. Выразим $x$:

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{24}$ и $\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{7\pi}{24}$

Теперь мы решили оба неравенства и нашли интервалы, на которых они выполняются. Вы можете построить графики функций и отметить найденные интервалы, чтобы визуализировать это на плоскости.