Question

Найдите значение выражения (1/81)^(1/3+1/9+1/27...+(-1)^n/3^n)

Answer 1

1/3+1/9+...+(-1)^n/3^n бесконечно убывающая геометрическая прогрессия b1=1/3 q=1/3
S=b1/(1-q)=1/3:(1-1/3)=1/3:2/3=1/3*3/2=1/2
(1/81)^(1/2)=√(1/81)=1/9

Answer 2

Для нахождения значения выражения, нужно сначала проанализировать последовательность степеней числа 1/81:

1/3 + 1/9 + 1/27 + ... + (-1)^n/3^n

Это арифметическая прогрессия, где первый член равен 1/3, а знаменатель увеличивается в 3 раза на каждом шаге. Общий член прогрессии:

a_n = 1/3^n * (-1)^n

Теперь для нахождения значения выражения, найдем сумму бесконечного числа членов арифметической прогрессии:

S = (1/3)^(1/3) + (1/9)^(1/3) + (1/27)^(1/3) + ... + (-1)^n * (1/3^n)^(1/3)

S = (1/3)^(1/3) + (1/3^2)^(1/3) + (1/3^3)^(1/3) + ...

Мы заметим, что каждый член прогрессии равен (1/3)^(1/3), так как каждый член прогрессии имеет одинаковую степень 1/3. Следовательно:

S = (1/3)^(1/3) + (1/3)^(1/3) + (1/3)^(1/3) + ...

Так как эта сумма имеет бесконечное количество одинаковых членов, она равна бесконечности.

Таким образом, значение выражения (1/81)^(1/3 + 1/9 + 1/27 + ... + (-1)^n/3^n) равно бесконечности.