Question

1. Упростите выражение: а) (x-y)² - 2y(x – y) + x² ; б) (x + y)² + ( x² - 4y²) + 5xy . 2. Преобразуйте выражение в многочлен: а) (p + g +r)(p + g - r) ; б) (x + 1)(x + 2)(x + 3) ; в) (m – 5)( m – 3) + (4 – m)² . 3. Докажите тождество: p³ + g³ + 3pg(p + g) = (p + g)³ .

Answer 1

А) (x-y)²-2y(x – y)+x²=x²-2xy+y²-2xy+2y²+x²=
=2x²-4xy+3y²
б) (x+y)²+(x²-4y²)+5xy=x²+2xy+y²+x²-4y²+5xy=
=2x²+7xy-3y²

(p+g+r)(p+g-r)=p²+pg-pr+pg+g²-gr+pr+rg-r²=
=p²+2pg+g²-r²
б) (x+1)(x+2)(x+3)=x²+2x+x²+3x+x+2+x+3+x²+3x+2x+6=3x²+12x+11
в) (m–5)( m–3)+(4–m)²=m²-3m-5m+15+16-8m+m²=2m²-16m+31

Answer 2

1. Упростите выражение: а) (x - y)² - 2y(x - y) + x²

   Решение: Раскроем квадраты и выполним умножение:

   (x - y)² = x² - 2xy + y²

   Теперь подставим это в исходное выражение:

   (x - y)² - 2y(x - y) + x² = (x² - 2xy + y²) - 2y(x - y) + x²

   Раскроем скобки:

   = x² - 2xy + y² - 2xy + 2y² + x²

   Объединим подобные члены:

   = 2x² - 4xy + 3y²

   Ответ: 2x² - 4xy + 3y²

   б) (x + y)² + (x² - 4y²) + 5xy

   Решение: Раскроем квадрат и выполним сложение:

   (x + y)² = x² + 2xy + y²

   Теперь подставим это в исходное выражение:

   (x + y)² + (x² - 4y²) + 5xy = (x² + 2xy + y²) + (x² - 4y²) + 5xy

   Объединим подобные члены:

   = 2x² + 7xy - 3y²

   Ответ: 2x² + 7xy - 3y²

2. Преобразуйте выражение в многочлен: а) (p + g + r)(p + g - r)

   Решение: Применим формулу (a + b)(a - b) = a² - b²:

   (p + g + r)(p + g - r) = p² + pg - pr + pg + g² - gr + rp + rg - r²

   Теперь объединим подобные члены:

   = p² + g² + 2pg - 2pr - 2gr - r²

   Ответ: p² + g² + 2pg - 2pr - 2gr - r²

   б) (x + 1)(x + 2)(x + 3)

   Решение: Для умножения многочленов используем метод "FOIL" (First, Outer, Inner, Last):

   (x + 1)(x + 2)(x + 3) = (x² + 2x + x + 2)(x + 3) = (x² + 3x + 2)(x + 3)

   Теперь раскроем скобку:

   = x³ + 3x² + 2x + 3x² + 9x + 6

   Объединим подобные члены:

   = x³ + 6x² + 11x + 6

   Ответ: x³ + 6x² + 11x + 6

   в) (m - 5)(m - 3) + (4 - m)²

   Решение: Раскроем квадрат и выполним умножение:

   (4 - m)² = (4 - m)(4 - m) = 16 - 4m - 4m + m² = 16 - 8m + m²

   Теперь умножим первые два множителя:

   (m - 5)(m - 3) = m² - 3m - 5m + 15 = m² - 8m + 15

   Теперь объединим подобные члены:

   = m² - 8m + 15 + 16 - 8m + m²

   Объединим подобные члены еще раз:

   = 2m² - 16m + 31

   Ответ: 2m² - 16m + 31

3. Докажите тождество: p³ + g³ + 3pg(p + g) = (p + g)³

   Решение: Нам нужно доказать, что левая часть выражения равна правой части.

   Левая часть: p³ + g³ + 3pg(p + g)

   Правая часть: (p + g)³

   Раскроем куб в правой части:

   (p + g)³ = (p + g)(p + g)² = (p + g)(p² + 2pg + g²) = p³ + 2p²g + pg² + gp² + g²p + g³

   Теперь, объединим подобные члены в правой части:

   (p + g)³ = p³ + 3p²g + 3pg² + g³

   Мы видим, что правая часть соответствует левой части тождества. Таким образом, тождество доказано.

   Ответ: p³ + g³ + 3pg(p + g) = (p + g)³