Question

Пожалуйста, помогите решить! lg^2 x - lg x-2<0

Answer 1

ОДЗ:
x>0(аргумент логарифма должен быть положительным числом)

Сделаем замену lg x = z, тогда: 
z²-z-2<0
(z-2)(z+1)<0
Решая это неравенство методом интервалов получаем:
-1< z <2

Обратная замена:
-1< lgx <2
(10)^{-1} < x < 10^2
0.1<x<100
В ОДЗ входят все значения.

Ответ: x∈(0.1;100)

Answer 2

Для решения неравенства lg^2(x) - lg(x) - 2 < 0, сначала приведем его к более простому виду.

Заметим, что lg^2(x) означает квадрат логарифма, а lg(x) - просто логарифм. Обозначим lg(x) за y. Тогда неравенство примет вид:

y^2 - y - 2 < 0

Теперь решим это квадратное неравенство:

1. Найдем корни квадратного уравнения y^2 - y - 2 = 0:

   y^2 - y - 2 = (y - 2)(y + 1) = 0

   y = 2 или y = -1

2. Построим знаки на числовой прямой, чтобы определить интервалы, на которых выполняется неравенство:

   (-∞, -1) | (-1, 2) | (2, ∞)

   (-) | (+) | (+)

   Где (-) обозначает отрицательное значение выражения, а (+) - положительное.

3. Теперь определим, когда выражение y^2 - y - 2 меньше нуля (< 0).

   Интервалы, которые удовлетворяют неравенству: (-∞, -1) и (2, ∞)

4. Переведем интервалы обратно в исходные переменные:

   lg(x) < -1 или lg(x) > 2

Теперь нужно рассмотреть каждый из полученных интервалов:

1. lg(x) < -1:

   Значение логарифма меньше -1, что означает, что x находится в интервале (0, 0.1).

2. lg(x) > 2:

   Значение логарифма больше 2, что означает, что x находится в интервале (100, ∞).

Таким образом, решением неравенства lg^2(x) - lg(x) - 2 < 0 является объединение двух интервалов: (0, 0.1) U (100, ∞).