Question

Докажите, что выражение х2 – 4х + 5 принимает положительные значения при всех значениях х.

Answer 1

Во-первых, y=x²-4x+5 - парабола, ветви которой направлены вверх, т.к а=1>0
Во-вторых, дискриминант D=(-4)²-4*1*5=16-20=-4 <0,
следовательно уравнение x²-4x+5=0 решений не имеет, то есть парабола y=x²-4x+5 не имеет точек пересечения с осью Ох.
Получаем, что наша парабола  лежит выше оси Ох, т.е. не может принимать значений равных нулю и значений ниже нуля.
Следовательно, она принимает только положительные значения.
x²-4x+5>0 для любого х∈(-∞;+∞)
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $x^2 - 4x + 5$ принимает положительные значения для всех значений $x$, мы должны показать, что у него нет действительных корней. Если у него нет действительных корней, это означает, что он всегда будет выше или ниже оси $x$ (в зависимости от знака коэффициента при $x^2$), и, следовательно, его значения всегда будут положительными.

Для начала, найдем дискриминант $D$ уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -4$ и $c = 5$:

$D = b^2 - 4ac$ $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5$ $D = 16 - 20$ $D = -4$

Дискриминант $D$ равен отрицательному числу $-4$. Когда дискриминант отрицателен, уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, а значит, выражение $x^2 - 4x + 5$ не пересекает ось $x$ и всегда лежит выше или ниже нее.

Таким образом, выражение $x^2 - 4x + 5$ принимает положительные значения для всех значений $x$.