Question

Срочно! 1) Докажите, что сумма двух последовательных натуральных чисел равна разности их квадратов 2) Докажите, что разность кубов двух последовательных натеральных чисел при делении на 6 дает в остатке 1 Если есть возможность, напишите оформление.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) числа: n+1 и n

Сумма наших чисел: (n+1) + n= 2n+1

Разность их квадратов: (n+1)^2-n^2=(n+1-n)(n+1+n)=2n+1

2n+1=2n+1 ДОКАЗАНО

----------------------------------

числа: n+1 и n

Разность их кубов: (n+1)^3 - n^3=(n+1-n) (n^2+2n+1+n^2+n+n^2)=3n^2+3n+1 = 3(n^2+n) + 1

Т.к. (n^2+n) кратно 2 (если n-нечёт., то n^2+n-чёт.; если n-чёт., то n^2+n-чёт.) ⇒ что разность кубов двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 дает в остатке 1

ДОКАЗАНО

Answer 2

Конечно, давайте докажем оба утверждения.

Доказательство первого утверждения: Пусть у нас есть два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$. Тогда их сумма будет $n + (n+1) = 2n+1$, а разность их квадратов выглядит как $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$. Как мы видим, сумма двух последовательных натуральных чисел действительно равна разности их квадратов.

Доказательство второго утверждения: Пусть у нас есть два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$. Тогда их кубы будут равны соответственно $n^3$ и $(n+1)^3$. Разность этих кубов выглядит как $(n+1)^3 - n^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$.

Давайте теперь посмотрим на остатки от деления этой разности на 6:

1. $3n^2$ делится на 6 без остатка, так как 3 делится на 6, а следовательно, и любое произведение 3 на целое число делится на 6 без остатка.
2. $3n$ делится на 6 без остатка по той же причине.
3. 1 даёт в остатке 1 при делении на 6.

Таким образом, остаток от деления $3n^2 + 3n + 1$ на 6 действительно равен 1.

Оформление:

Доказательство первого утверждения: Пусть $n$ и $n+1$ - два последовательных натуральных числа. Тогда их сумма: $n + (n+1) = 2n+1.$ А разность их квадратов: $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1.$ Таким образом, сумма двух последовательных натуральных чисел действительно равна разности их квадратов.

Доказательство второго утверждения: Пусть $n$ и $n+1$ - два последовательных натуральных числа. Их кубы равны соответственно $n^3$ и $(n+1)^3$, а разность кубов: $(n+1)^3 - n^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1.$ Остатки от деления:

1. $3n^2$ делится на 6 без остатка.
2. $3n$ делится на 6 без остатка.
3. 1 даёт в остатке 1 при делении на 6. Таким образом, остаток от деления $3n^2 + 3n + 1$ на 6 действительно равен 1.