Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=f(x) в указанной точке М. Постройте графики функций и соответствующие им касательные, если f(x)=3x-2x^2 а М(1;1)

Answer 1

Y=f(x0)+f`(x0)(x-x0)
f`(x)=3-4x
f`(1)=3-4=-1
f(1)=3-2=1
y=1+(-1)(x-1)=1-x+1=2-x

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции в точке M(1, 1), нам необходимо найти производную функции и подставить в нее координаты точки M.

1. Найдем производную функции y = f(x) = 3x - 2x^2: dy/dx = d/dx(3x - 2x^2) dy/dx = 3 - 4x

2. Теперь подставим x = 1 (координату x точки M) в производную, чтобы найти значение производной в этой точке: dy/dx |x=1 = 3 - 4 * 1 = -1

3. Полученное значение (-1) представляет угловой коэффициент (наклон) касательной к графику функции в точке M(1, 1).

4. Уравнение касательной имеет вид: y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки M, а m - угловой коэффициент (производная) в этой точке.

Теперь, подставим значения точки M(1, 1) и углового коэффициента m = -1 в уравнение касательной:

y - 1 = -1(x - 1)

Упростим уравнение:

y - 1 = -x + 1

Теперь перенесем -1 на правую сторону:

y = -x + 2

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = 3x - 2x^2 в точке M(1, 1) равно y = -x + 2.

Теперь построим график функции f(x) = 3x - 2x^2 и соответствующую касательную y = -x + 2:

На графике выше красная кривая представляет функцию f(x) = 3x - 2x^2, а синяя прямая - касательную y = -x + 2 в точке M(1, 1). Как видно, прямая касательная проходит через точку M(1, 1) и имеет наклон, равный угловому коэффициенту -1, что соответствует найденному ранее значению производной.