Question

Докажите неравенство:а)(x-2)во второй степени >х(х-4)

Answer 1

${(x - 2)}^{2} > x(x - 4)$
${x}^{2} - 4x + 4 > {x}^{2} - 4x$
${x}^{2} - 4x + 4 - {x}^{2} +4x > 0$
$4 > 0$
Последнее неравенство является верным для любого х, а значит
${(x - 2)}^{2} > x(x - 4)$

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, нужно анализировать его при различных значениях переменной x. Начнем с поиска точек пересечения графиков функций (x-2)^2 и x(x-4), чтобы определить интервалы, на которых выполняется неравенство.

1. Найдем точки пересечения графиков: Приравняем выражения и решим уравнение: (x - 2)^2 = x(x - 4)

Раскроем квадрат: (x^2 - 4x + 4) = x^2 - 4x

Получим уравнение: 4 = 0

Уравнение 4 = 0 не имеет решений, следовательно, графики функций (x-2)^2 и x(x-4) не пересекаются, и дополнительных точек пересечения нет.

2. Определим знак разности между функциями на различных интервалах: Теперь рассмотрим знак разности (x - 2)^2 - x(x - 4) для различных интервалов:

a) x < 2: Подставим x = 1 (любое число из интервала (отрицательное значение)): (1 - 2)^2 - 1(1 - 4) = (-1)^2 - (-3) = 1 + 3 = 4 (положительное значение)

b) 2 < x < 4: Подставим x = 3 (любое число из интервала (от 2 до 4)): (3 - 2)^2 - 3(3 - 4) = 1 - 3 = -2 (отрицательное значение)

c) x > 4: Подставим x = 5 (любое число из интервала (положительное значение)): (5 - 2)^2 - 5(5 - 4) = 9 - 5 = 4 (положительное значение)

3. Вывод: Из анализа знаков разности на различных интервалах, получаем, что (x - 2)^2 - x(x - 4) > 0 при x < 2 и x > 4. Однако на интервале 2 < x < 4 разность отрицательна, что означает, что неравенство не выполняется на этом интервале.

Таким образом, доказано неравенство: (x - 2)^2 > x(x - 4) при x < 2 и x > 4.