Question

Доказать тождество:4sinalpha*cosalpha/cos^2alpha-sin^2alpha=2tg2alpha

Answer 1

Cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha
sin2alpha=2cosalphasinalpha
2sin2alpha/cos2alpha=2tg2alpha

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Преобразуем левую часть выражения:

Заметим, что:

1. $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ (тригонометрическое тождество).
2. $\tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$ (определение тангенса).

Тогда:

$$\begin{align*} \frac{4\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}} &= \frac{4\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\cos^2{\alpha}-(1-\cos^2{\alpha})} \quad \text{(используем тригонометрическое тождество)} \\ &= \frac{4\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{2\cos^2{\alpha}-1} \\ &= \frac{2\cdot2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{2\cos^2{\alpha}-1} \\ &= \frac{2\sin{2\alpha}}{2\cos^2{\alpha}-1} \quad \text{(применяем формулу для двойного угла)} \\ &= \frac{2\tan{2\alpha}\cos{\alpha}}{\cos^2{\alpha}(2-1)} \quad \text{(используем определение тангенса)} \\ &= 2\tan{2\alpha} \quad \text{(упрощаем)}. \end{align*}$$

Таким образом, доказано тождество: $\frac{4\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}} = 2\tan{2\alpha}.$