Question

Найдите производную функции (х/(х²+1)

Answer 1

$( \frac{x}{ x^{2} +1} )' = \frac{x'( x^{2} +1)-x( x^{2} +1)'}{ (x^{2} +1)^2} = \frac{x^{2} +1-2x^{2}}{ (x^{2} +1)^2} = \\ \\ = \frac{1-x^{2}}{ (x^{2} +1)^2}$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = x/(x² + 1), мы будем использовать правило дифференцирования частного.

Правило дифференцирования частного: Если у нас есть функции u(x) и v(x), то производная их частного равна (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))^2.

Давайте применим это правило к нашей функции f(x) = x/(x² + 1):

u(x) = x, v(x) = x² + 1.

Теперь найдем производные функций u(x) и v(x):

u'(x) = 1 (производная x по x), v'(x) = 2x (производная (x² + 1) по x).

Теперь можем найти производную f'(x):

f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))^2 = (1 * (x² + 1) - x * 2x) / (x² + 1)^2 = (x² + 1 - 2x²) / (x² + 1)^2 = (1 - x²) / (x² + 1)^2.

Таким образом, производная функции f(x) = x/(x² + 1) равна f'(x) = (1 - x²) / (x² + 1)^2.