Question

Помогите решить пожалйуста. 1) Укажите первообразную для функции f(x)=3 cos 3x+1/2 sin x/2, график которой проходит через точку А(Пи/2; -2/3) 2) Найдите площадь фигуры, ограниченную линиями y=5-x^2, y=3-x.

Answer 1

1) Укажите первообразную для функции f(x)=3 cos 3x+1/2 sin x/2, график которой проходит через точку А(π/2; -2/3)
Общий вид первообразных для данной функции:
F(x) = Sin3x-Cosx/2 + C
A(π/2; -2/3)  подставим эти координаты, чтобы найти С
-2/3 = Sin(3*π/2) - Cosπ/4 + C
-2/3 = -1 -√2/2 + С
С = -2/3 +1 +√2/2 = 1/3 + √2/2
Ответ:F(x) = Sin3x-Cosx/2 + 1/3 + √2/2
2) Найдите площадь фигуры, ограниченную линиями y=5-x^2, y=3-x.
Решение:
Ищем пределы интегрирования:
5 - х² = 3 - х
х² -х -2 = 0
по т. Виета корни 2 и -1
S₁ = ₋₁²∫(5 - x²)dx = (5x -x³/3)| в пределах от -1 до 2 = 10 -8/3 - (-5 +1/3)=
=10 -8/3 +5 -1/3 = 12
S₂ = ₋₁²∫(3 -x) dx = (3x -x²/2)| в пределах от -1 до 2=
=6 - 2 - (-3 -1/2) = 4 +3 +1/2 = 7,5
S фиг. = 12 - 7,5 = 4,5

Answer 2

Для первого вопроса нам нужно найти первообразную (интеграл) функции f(x) и найти произвольную постоянную с учетом условия, что график функции проходит через точку А(π/2; -2/3).

1. Найдем первообразную функции f(x): ∫(3 cos(3x) + 1/2 sin(x/2)) dx

Для интегрирования используем замены: ∫3 cos(3x) dx = (1/3) sin(3x) + C1, ∫(1/2) sin(x/2) dx = -cos(x/2) + C2,

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Таким образом, первообразная функции f(x) будет: F(x) = (1/3) sin(3x) - cos(x/2) + C,

где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти значение C и учитывая, что график функции проходит через точку А(π/2; -2/3), подставим x = π/2 и F(x) = -2/3:

-2/3 = (1/3) sin(3(π/2)) - cos(π/4) + C.

sin(3(π/2)) = sin(3π/2) = -1, cos(π/4) = √2/2.

Теперь решим уравнение:

-2/3 = (-1/3) - √2/2 + C, C = -2/3 + 1/3 + √2/2, C = (1 - 2 + 3√2)/6, C = (3√2 - 1)/6.

Таким образом, окончательная первообразная функции f(x) с учетом условия будет:

F(x) = (1/3) sin(3x) - cos(x/2) + (3√2 - 1)/6.

2. Теперь перейдем ко второму вопросу и найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y = 5 - x^2 и y = 3 - x.

Для начала, найдем точки пересечения двух функций: 5 - x^2 = 3 - x, x^2 - x + 2 = 0.

Это квадратное уравнение не имеет действительных корней, что означает, что функции не пересекаются на вещественной оси. Однако, учитывая графики функций, мы видим, что линия y = 3 - x находится выше кривой y = 5 - x^2 на всей области рассмотрения.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, равна разности площадей областей под ними.

Площадь области под кривой y = 5 - x^2: ∫(5 - x^2) dx = 5x - (1/3)x^3 + C1.

Площадь области под линией y = 3 - x: ∫(3 - x) dx = 3x - (1/2)x^2 + C2.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, вычислим разность:

Площадь = (5x - (1/3)x^3 + C1) - (3x - (1/2)x^2 + C2).

Поскольку мы ищем площадь между определенными границами, то можно использовать значения x = 0 и x = 2 (пределы интегрирования):

Площадь = [(5 * 2 - (1/3) * 2^3 + C1) - (3 * 2 - (1/2) * 2^2 + C2)] - [(5 * 0 - (1/3) * 0^3 + C1) - (3 * 0 - (1/2) * 0^2 + C2)].

Площадь = [(10 - 8/3 + C1) - (6 - 2 + C2)] - [0 - 0].

Площадь = (10 - 8/3 + C1 - 6 + 2 - C2).

C1 и C2 сокращаются, и получаем:

Площадь = 4 - 8/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 5 - x^2 и y = 3 - x, составляет 4 - 8/3 или около 1.33 квадратных единиц.