Question

Прошу помочь решить интегралы! ∫ 5x^4dx ∫ 3e^xdx ∫ dx/2cos^2x

Answer 1

См скриншот
========================

Answer 2

Конечно, помогу решить данные интегралы:

1. ∫ 5x^4 dx:

Для интегрирования мономов используем формулу для степенных функций: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.

В данном случае, n = 4: ∫ 5x^4 dx = (5x^(4+1))/(4+1) + C = (5x^5)/5 + C = x^5 + C.

Ответ: ∫ 5x^4 dx = x^5 + C.

2. ∫ 3e^x dx:

Интеграл от экспоненциальной функции e^x имеет следующий вид: ∫ e^x dx = e^x + C.

В данном случае: ∫ 3e^x dx = 3 ∫ e^x dx = 3 (e^x) + C = 3e^x + C.

Ответ: ∫ 3e^x dx = 3e^x + C.

3. ∫ dx / (2cos^2x):

Для интегрирования тригонометрических функций используем подходящую замену переменной. В данном случае заменим cos^2(x) на u.

Пусть u = cos^2(x), тогда du = -2cos(x)sin(x) dx. Также, cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2.

Теперь интеграл примет следующий вид: ∫ dx / (2cos^2x) = ∫ dx / (2u).

Мы можем переписать dx через du: dx = du / (-2cos(x)sin(x)).

Подставим dx и cos^2(x) из вышеуказанных замен: ∫ dx / (2cos^2x) = ∫ (du / (-2cos(x)sin(x))) / (2u) = ∫ (du / (-4u sin(x) cos(x))) = ∫ (-du / (4u sin(x) cos(x))).

Теперь разделим числитель и знаменатель на 4: ∫ dx / (2cos^2x) = -∫ (du / (4u sin(x) cos(x))).

Разложим дробь на два множителя: ∫ dx / (2cos^2x) = -∫ (du / (4u)) * (1 / (sin(x) cos(x))).

Теперь проинтегрируем каждую часть отдельно: ∫ dx / (2cos^2x) = - (1/4) ∫ du * (1 / (sin(x) cos(x))).

Интеграл ∫ du равен u + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

Интеграл ∫ (1 / (sin(x) cos(x))) dx: Мы можем заметить, что производная от sin(x)cos(x) равна (cos^2(x) - sin^2(x)). Поэтому, ∫ (1 / (sin(x) cos(x))) dx = ∫ (1 / (sin(x) cos(x))) * ((cos^2(x) + sin^2(x)) / (cos^2(x) + sin^2(x))) dx = ∫ ((cos^2(x) + sin^2(x)) / (sin(x) cos(x))) dx = ∫ (1 / (sin(x))) dx = ln|tan(x)| + C2, где C2 - постоянная интегрирования.

Теперь вернемся к исходному интегралу: ∫ dx / (2cos^2x) = - (1/4) ∫ du * (1 / (sin(x) cos(x))) = - (1/4) * (u + C1) * (ln|tan(x)| + C2) = - (1/4) * (cos^2(x) + C1) * (ln|tan(x)| + C2).

Ответ: ∫ dx / (2cos^2x) = - (1/4) * (cos^2(x) + C1) * (ln|tan(x)| + C2).