Question

четыре числа дают геометрическую прогрессию если от них соответственно отнять 2,1,7 и 27 тогда полученные числа дадут арифметическую прогрессию какие эти числа

Answer 1

Если данные четыре числа дают геометрическую прогрессию, тогда их можно представить соответственно так: 
 b₁ ;  b₁q ;  b₁q² ; b₁q³

Вычтем соответственно числа 2; 1; 7; 27 и получим первые четыре числа арифметической прогрессии: 

a₁ = b₁ - 2
a₂ = b₁*q - 1 

a₃ = b₁*q² - 7 

a₄ = b₁*q³ - 27

По свойствам арифметической прогрессии каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов.

Применим это свойство для второго члена а₂

$a_{2}= \frac{a_1+a_3}{2}$

а₁+а₃=2а₂

Подставим вместо а₁ ;а₂ ; а₃  их зачения.
b₁ - 2 + b₁q² - 7 = 2*(b₁q -1 )

b₁ - 2*b₁·q + b₁*q² = 2 + 7- 2 

b₁·(1-2q+q²) = 7 

b₁*(1-q)² = 7 

b₁ = 7/(1-q)²

Умножим обе части на q.

b₁q = 7q/(1-q)²   (это первое уравнение)

Теперь применим это свойство для третьего члена а₃

$a_3= \frac{a_2+a_4}{2}$

а₂+а₄=2*а₃ 

b₁*q - 1 + b₁*q³ - 27 = 2*(b₁q² -7) 

b₁q - 2*b₁q² + b₁q³ = 1+27-14 

b₁q*(1-q)² = 14 

b₁q = 14/(1-q)²  (второе уравнение)

В первом и во втором уравнениях левые части равны, значит, равны их правые части
7q/(1-q)² = 14/(1-q)² 

q = 2

b₁  = 7/(1-q)²

b₁= 7/(1-2)² 

b₁= 7/1

b₁ = 7

При b₁ = 7  и   q = 2  легко найти первые четыре числа, которые представляют геометрическую прогрессию.

b₁ = 7
b₂ = b₁*q     =>       b₂ = 7*2     =>     b₂ = 14 

b₃ = b₁*q²     =>       b₃ = 7*4     =>    b₃ = 28 

b₄ = b₁*q³     =>       b₄ = 7*8      =>   b₄ = 56

 7; 14; 28; 56 - искомые числа.

Проверим дадут ли они арифметическую прогрессию если от них соответственно отнять 2,1,7 и 27.

a₁ = b₁ - 2       =>     a₁ = 7 - 2      =>       a₁ = 5
a₂ = b₂ - 1        =>    a₂ = 14-1       =>      a₂ = 13

a₃ = b₃ - 7         =>    a₃ = 28 - 7      =>     a₃ = 21

a₄ = b₄ - 27          =>    a₄ = 56 - 27    =>   a₄ = 29

 Числа 5;  13;  21;  29 действительно дают арифметическую прогрессию. 

Ответ: 7;  14;  28;  56 - данные числа

Answer 2

Пусть исходные четыре числа обозначаются как a, ar, ar^2 и ar^3, где a - первый член геометрической прогрессии, а r - её знаменатель (значение, на которое каждый последующий член умножается, чтобы получить следующий).

Тогда условие задачи можно записать следующим образом:

1. Первое число: a.
2. Второе число: ar, от которого отнимаем 2: ar - 2.
3. Третье число: ar^2, от которого отнимаем 1: ar^2 - 1.
4. Четвёртое число: ar^3, от которого отнимаем 7: ar^3 - 7.

Теперь, эти четыре числа образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что разность между каждым последующим членом и предыдущим одинакова.

Итак, запишем арифметическую прогрессию:

1. a
2. ar - 2
3. ar^2 - 1
4. ar^3 - 7

Разность между вторым и первым членами:

(ar - 2) - a = ar - 2 - a = ar - a - 2.

Разность между третьим и вторым членами:

(ar^2 - 1) - (ar - 2) = ar^2 - 1 - ar + 2 = ar^2 - ar + 1.

Разность между четвёртым и третьим членами:

(ar^3 - 7) - (ar^2 - 1) = ar^3 - 7 - ar^2 + 1 = ar^3 - ar^2 - 6.

Таким образом, чтобы числа образовали арифметическую прогрессию, все эти разности должны быть одинаковыми:

ar - a - 2 = ar^2 - ar + 1 = ar^3 - ar^2 - 6.

Выразим a из первого уравнения:

ar - a = 2 => a(r - 1) = 2 => a = 2 / (r - 1).

Подставим a во второе уравнение:

ar^2 - ar + 1 = 2 / (r - 1) * r^2 - 2 / (r - 1) = 1.

Теперь решим это уравнение для r:

r^2 - r + (1 - 2/(r - 1)) = 0.

r^2 - r + (1 - 2/(r - 1)) = r^2 - r + (r - 1 - 2)/(r - 1) = (r^2 - r + r - 3)/(r - 1) = (r^2 - 3)/(r - 1) = 0.

Таким образом, r^2 - 3 = 0 => r^2 = 3 => r = ±√3.

Теперь найдем a:

a = 2 / (r - 1) = 2 / (√3 - 1) и a = 2 / (-√3 - 1).

Таким образом, у нас два возможных решения:

1. Если r = √3:

a = 2 / (√3 - 1) = 2 / (√3 - 1) * (√3 + 1) / (√3 + 1) = 2 * (√3 + 1) / (3 - 1) = (√3 + 1).

Теперь найдем каждое число геометрической прогрессии:

1. Первое число: a = (√3 + 1).

2. Второе число: ar = (√3 + 1) * √3 = 3 + √3.

3. Третье число: ar^2 = (3 + √3) * √3 = 3√3 + 3.

4. Четвёртое число: ar^3 = (3√3 + 3) * √3 = 9 + 6√3.

5. Если r = -√3:

a = 2 / (-√3 - 1) = 2 / (-√3 - 1) * (-√3 + 1) / (-√3 + 1) = 2 * (-√3 + 1) / (3 + 1) = (-√3 + 1) / 2.

Теперь найдем каждое число геометрической прогрессии:

1. Первое число: a = (-√3 + 1) / 2.
2. Второе число: ar = (-√3 + 1) / 2 * (-√3) = (√3 - 1) / 2.
3. Третье число: ar^2 = (√3 - 1) / 2 * (-√3) = (1 - √3) / 2.
4. Четвёртое число: ar^3 = (1 - √3) / 2 * (-√3) = (3 - √3) / 2.

Таким образом, два возможных набора чисел, которые образуют геометрическую и арифметическую прогрессии:

1. (√3 + 1), (3 + √3), (3√3 + 3), (9 + 6√3).
2. (-√3 + 1) / 2, (√3 - 1) / 2, (1 - √3) / 2, (3 - √3) / 2.