Question

Дана функция f(x)= 2x^3+6x^2-1. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3;0]

Answer 1

См скриншоты
=============================

Answer 2

Для а) промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти значения производной функции f'(x) и проанализировать её знаки.

а) Найдем производную функции f'(x):

f(x) = 2x^3 + 6x^2 - 1

f'(x) = d/dx (2x^3) + d/dx (6x^2) - d/dx (1) f'(x) = 6x^2 + 12x

Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю (то есть точки, где функция может менять свой характер):

6x^2 + 12x = 0 2x(x + 2) = 0

x = 0 или x = -2

Теперь определим знак производной на каждом из интервалов между найденными точками и за пределами:

1. Когда x < -2: возьмем x = -3 (произвольное число меньше -2) f'(-3) = 6(-3)^2 + 12(-3) = 6(9) - 36 = 54 - 36 = 18 (положительное значение)

2. Когда -2 < x < 0: возьмем x = -1 (произвольное число между -2 и 0) f'(-1) = 6(-1)^2 + 12(-1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 (отрицательное значение)

3. Когда x > 0: возьмем x = 1 (произвольное число больше 0) f'(1) = 6(1)^2 + 12(1) = 6 + 12 = 18 (положительное значение)

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (0, +∞), и убывает на интервале (-2, 0).

б) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3, 0]. Для этого найдем значения функции f(x) в крайних точках и в точках, где функция может достичь экстремумов, то есть там, где производная равна нулю.

1. Значения на крайних точках: f(-3) = 2(-3)^3 + 6(-3)^2 - 1 = -54 + 54 - 1 = -1 f(0) = 2(0)^3 + 6(0)^2 - 1 = 0 - 1 = -1

2. Значения в точках, где производная равна нулю: a) x = 0 (уже рассчитали выше): f(0) = -1 b) x = -2: f(-2) = 2(-2)^3 + 6(-2)^2 - 1 = -16 + 24 - 1 = 7

Таким образом, на отрезке [-3, 0] наибольшее значение функции равно -1 (достигается в точках x = -3 и x = 0), а наименьшее значение равно 7 (достигается в точке x = -2).