Question

Значение выражения 6sin75°*cos75°-tg240°*ctg225° равно: Решите подробно, пожалуйста

Answer 1

Tg240° = tg(270° - 30°) = ctg30° = √3
ctg225° = ctg(270° - 45°) = tg45° = 1
tg240° * ctg225° = √3

sin2x = 2sinxcosx
6sin75° * cos75° = 3 * (2sin75°cos75°) = 3 * sin(2 * 75°) = 3sin150° = 3sin(180° - 30°) = 3sin30° = 3 * 1/2 = 3/2

6sin75° * cos75° - tg240° * ctg225° = 3/2 - √3

Answer 2

Для решения данного выражения, мы будем использовать тригонометрические идентичности. Начнем с раскрытия значений тригонометрических функций для данных углов:

1. Значение sin(75°): Используем идентичность: sin(a) = sin(90° - a) sin(75°) = sin(90° - 15°) sin(75°) = sin(15°)

2. Значение cos(75°): Используем идентичность: cos(a) = cos(90° - a) cos(75°) = cos(90° - 15°) cos(75°) = cos(15°)

3. Значение tg(240°): Используем идентичность: tg(a) = tg(a + 180°) tg(240°) = tg(240° + 180°) tg(240°) = tg(420°) tg(420°) имеет такое же значение, как tg(60°) (периодичность тангенса каждые 180°) tg(240°) = tg(60°)

4. Значение ctg(225°): Используем идентичность: ctg(a) = ctg(a + 180°) ctg(225°) = ctg(225° + 180°) ctg(225°) = ctg(405°) ctg(405°) имеет такое же значение, как ctg(45°) (периодичность котангенса каждые 180°) ctg(225°) = ctg(45°)

Теперь, заменяя значения тригонометрических функций в исходном выражении, получим:

6 * sin(75°) * cos(75°) - tg(240°) * ctg(225°) 6 * sin(15°) * cos(15°) - tg(60°) * ctg(45°)

Теперь нам нужно вычислить значения sin(15°) и cos(15°). Для этого мы можем воспользоваться формулами половинного угла:

sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a) cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

Мы можем представить sin(15°) как sin(30° / 2) и cos(15°) как cos(30° / 2).

sin(30°) = 1/2 cos(30°) = √3 / 2

Теперь вычислим sin(15°) и cos(15°):

sin(15°) = 2 * sin(30° / 2) * cos(30° / 2) sin(15°) = 2 * (1/2) * (√3 / 2) sin(15°) = √3 / 4

cos(15°) = cos^2(30° / 2) - sin^2(30° / 2) cos(15°) = (√3 / 2)^2 - (1/2)^2 cos(15°) = 3/4 - 1/4 cos(15°) = 2/4 cos(15°) = 1/2

Теперь заменим значения sin(15°) и cos(15°) в исходном выражении:

6 * (√3 / 4) * (1 / 2) - tg(60°) * ctg(45°)

Теперь вычислим tg(60°) и ctg(45°):

tg(60°) = √3 ctg(45°) = 1

Подставим значения:

6 * (√3 / 4) * (1 / 2) - √3 * 1

Теперь упростим:

6 * (√3 / 8) - √3

Для выполнения дальнейших вычислений, давайте приведем все дроби к общему знаменателю 8:

6 * (√3 / 8) - 8/8 * √3

Теперь вычтем значения:

(6 * √3 - 8 * √3) / 8 (-2 * √3) / 8

Делим числитель и знаменатель на 2:

• √3 / 4

Таким образом, значение выражения 6sin75° * cos75° - tg240° * ctg225° равно -√3 / 4.