Question

Богом прошу, помогите! Найдите, в какой точке графика функции y = x√3/3 + x³ касательная наклонена к оси абсцисс под углом α=π/6.

Answer 1

Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. В свою очередь тангенс угла наклона прямой к оси ox равен угловому коэффициенту.
f'(x0)=k=tg(a)
находим производную данной функции:
$y'=\frac{1}{\sqrt{3}}+3x^2$
пусть x координата искомой точки будет b, тогда:
$y'(b)=\frac{1}{\sqrt{3}}+3b^2$
нам известен угол наклона, значит:
$tg(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{\sqrt{3}}=y'(b)=\frac{1}{\sqrt{3}}+3b^2$
решим уравнение:
$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}+3b^2 \\3b^2=0 \\b=0$

найдем y- координату точки: y(0)=0
значит в точке (0;0) касательная составляет с графиком данной функции угол в $\frac{\pi}{6}$
Ответ: (0;0)

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти точку на графике функции y = x√3/3 + x³, в которой касательная к функции наклонена к оси абсцисс под углом α = π/6 (или 30 градусов).

Для начала, найдем производную данной функции и приравняем ее к тангенсу угла α.

Исходная функция: y = x√3/3 + x³

Производная функции (y'):

y' = d/dx (x√3/3 + x³) = √3/3 + 3x²

Теперь, для того чтобы касательная к графику функции имела угол α с осью абсцисс (горизонтальной осью), нужно приравнять производную к тангенсу этого угла:

тангенс(α) = tan(π/6) = √3/3

Таким образом, уравнение для касательной будет:

y - y₀ = y' (x - x₀)

где (x₀, y₀) - точка на графике функции, в которой касательная пересекает его.

Теперь приравниваем производную y' к √3/3:

√3/3 = √3/3 + 3x₀²

Отбрасываем √3/3 с обеих сторон:

3x₀² = 0

x₀² = 0

x₀ = 0

Теперь найдем значение y₀, подставив x₀ обратно в исходную функцию:

y₀ = 0√3/3 + 0³ y₀ = 0

Таким образом, точка, в которой касательная к графику функции имеет угол α = π/6 с осью абсцисс, - это (0, 0).