Question

Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y'+y*tg(x)=1/cos(x); y(\pi) = 1

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
$y'+ytgx=0$ 

Это дифференциальное уравнение является уравнение с разделяющимися переменными.

$\dfrac{dy}{y} =-tg x dx ;~~\Rightarrow~~ \displaystyle \int \dfrac{dy}{y} = \dfrac{d(\cos x)}{\cos x} \\ \\ \ln|y|=\ln |\cos x|+\ln C\\ \\ y= C\cos x$

Примем теперь константу за функцию, то есть  $C=C(x)$
$y=C(x)\cos x$

Дифференцируем обе части по переменной х.
$y'=C'(x)\cos x-C(x)\sin x$

Подставляем эти данные в исходное уравнение, получим

$\displaystyle C'(x)\cos x-C(x)\sin x+C(x)\cos x\cdot tg x= \frac{1}{\cos x} \\ \\ C'(x)\cos x-C(x)\sin x+C(x)\sin x=\frac{1}{\cos x}\\ \\ C'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}~~\Rightarrow~~ C(x)=\int \frac{dx}{\cos x}=tg x+C_1$

Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения:
                          $y=(tgx+C_1)\cos x=\sin x+C_1\cos x$

Осталось найти частное решение, подставив начальные условия:

$1=\sin \pi +C_1\cos \pi \\ 1=-C_1\\ C_1=-1$

$\boxed{y=\sin x-\cos x}$ - частное решение


P.S. уравнение решено методом Лагранжа.

Answer 2

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения с начальными условиями необходимо решить уравнение и затем использовать начальные условия для определения констант интегрирования.

Данное дифференциальное уравнение выглядит следующим образом:

y' + y * tg(x) = 1/cos(x)

Для начала приведем уравнение к более простому виду, применяя некоторые алгебраические преобразования:

y' = 1/cos(x) - y * tg(x)

Теперь, уравнение можно записать в виде:

dy/dx + y * tg(x) = 1/cos(x)

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для решения данного уравнения, мы будем использовать метод интегрирующего множителя. Множитель равен exp(∫tg(x) dx), так как tg(x) - это функция, стоящая перед y.

Интегрирующий множитель: exp(∫tg(x) dx) = exp(∫sin(x)/cos(x) dx) = exp(ln|cos(x)|) = |cos(x)|

Теперь, умножим обе стороны уравнения на множитель |cos(x)|:

|cos(x)| * dy/dx + y * cos(x) * tg(x) = 1

Теперь заменим y на v * |cos(x)|, где v - новая неизвестная функция:

|cos(x)| * dv/dx + v * cos(x) * tg(x) = 1

Теперь уравнение стало разделимым, и мы можем проинтегрировать его:

∫(|cos(x)| * dv/dx) dx + ∫(v * cos(x) * tg(x)) dx = ∫dx

∫|cos(x)| dv + ∫(v * sin(x)) dx = x + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь интегрируем первый интеграл справа:

∫|cos(x)| dv = ∫dv = v + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, уравнение примет вид:

v + C2 + ∫(v * sin(x)) dx = x + C1

Теперь найдем интеграл ∫(v * sin(x)) dx:

∫(v * sin(x)) dx = -v * cos(x) + ∫(v' * cos(x)) dx

где v' = dv/dx.

Таким образом, уравнение примет вид:

v - v * cos(x) + ∫(v' * cos(x)) dx = x + C1 - C2

Теперь интегрируем ∫(v' * cos(x)) dx:

∫(v' * cos(x)) dx = ∫dv' = v + C3, где C3 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, уравнение примет вид:

v - v * cos(x) + v + C3 = x + C1 - C2

Упростим:

v * (1 - cos(x)) + C3 = x + C1 - C2

Теперь выразим v:

v * (1 - cos(x)) = x + C1 - C2 - C3

v = (x + C1 - C2 - C3) / (1 - cos(x))

Теперь подставим обратно y = v * |cos(x)|:

y = (x + C1 - C2 - C3) / (1 - cos(x)) * |cos(x)|

Теперь используем начальные условия y(π) = 1:

1 = (π + C1 - C2 - C3) / (1 - cos(π)) * |cos(π)|

1 = (π + C1 - C2 - C3) / (1 + 1)

2 = π + C1 - C2 - C3

C1 - C2 - C3 = 2 - π

Теперь, наша окончательная формула для y будет:

y = (x + C1 - C2 - C3) / (1 - cos(x)) * |cos(x)|

y = (x + (2 - π)) / (1 - cos(x)) * |cos(x)|

Пожалуйста, учтите, что C1, C2 и C3 - это произвольные константы. Нужно просто подставить значения π и вычислить выражение для y.