Question

Пожалуйста помогите очень нужно. Докажите тождество: sin x- cos x=- корень из 2cos ( пи/4+x)

Answer 1

$sinx-cosx=sinx-sin(\frac{\pi}{2}-x)=2\cdot sin\frac{x-\frac{\pi}{2}+x}{2}\cdot cos\frac{x+\frac{\pi}{2}-x}{2}=\\\\=2\cdot sin(x-\frac{\pi}{4})\cdot cos\frac{\pi }{4}=2\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cdot sin(x-\frac{\pi}{4})=\\\\=\sqrt2\cdot cos(\frac{\pi}{2}-(x-\frac{\pi}{4}))=\sqrt2\cdot cos(\frac{3\pi }{4}-x)=\\\\=\sqrt2\cdot cos(\pi -(\frac{\pi}{4}+x))=[\, cos(\pi -t)=-cost\, ]=-\sqrt2\cdot cos(\frac{\pi}{4}+x)$

Answer 2

Конечно, давайте докажем данное тождество:

Начнем с левой стороны тождества: sin(x) - cos(x).

Мы знаем тригонометрические тождества для суммы и разности углов:

1. sin(A + B) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B)
2. cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)

Преобразуем левую сторону тождества, используя тождества для разности углов:

sin(x) - cos(x) = sin(x) - cos(x) * (cos(π/4) * cos(x) + sin(π/4) * sin(x))

Так как cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2, мы можем подставить их в уравнение:

sin(x) - cos(x) = sin(x) - (1/√2) * (cos(x) + sin(x))

Раскроем скобку:

sin(x) - cos(x) = sin(x) - (1/√2) * cos(x) - (1/√2) * sin(x)

Теперь сгруппируем слагаемые синусов и косинусов:

sin(x) - cos(x) = sin(x) - (1/√2) * sin(x) + (1/√2) * cos(x)

Теперь применим обратное тождество sin(A + B) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B) для A = x и B = π/4:

sin(x) - cos(x) = √2 * sin(x + π/4)

Таким образом, мы доказали тождество:

sin(x) - cos(x) = √2 * cos(x + π/4)