Question

Найти острый угол между параболами y=x^2 и y=8-x^2 В точке их пересечения имеющей положительную абсциссу Расписать пошагово

Answer 1

Находим точки пересечения парабол y=x^2 и y=8-x^2.
x^2 = 8-x^2 ,
2x^2 = 8
х^2 = 8/2 = 4,
x = 2 и х = -2.
По заданию принимаем х = 2.
Находим производные функций в этой точке.
y=x^2,       y' = 2x,   y'(2) = 2*2 = 4. 
y=8-x^2,   y' = -2x,   y'(2) = -2*2 = -4.

Угол между кривыми равен углу между касательными к кривым в данной точке.
tg α =(k2-k1)/(1+k1*k2) = (-4-4)/(1+4*(-4)) = -8/(1-16) = 8/15.
α = arc tg(8/15) =  0,489957 радиан = 28,07249°. 

Answer 2

Для того чтобы найти острый угол между двумя кривыми, нужно сначала найти точку их пересечения и затем вычислить угол наклона касательных к этим кривым в этой точке.

Шаг 1: Найдем точку пересечения двух парабол. Для этого приравняем уравнения парабол друг к другу и решим уравнение для x:

x^2 = 8 - x^2

Перенесем одно слагаемое на другую сторону:

2x^2 = 8

Разделим обе стороны на 2:

x^2 = 4

Возьмем корень из обеих сторон:

x = ±√4

Так как нам нужна положительная абсцисса, выберем x = √4 = 2.

Шаг 2: Вычислим значения y в точке пересечения (2, y). Подставим x = 2 в одно из уравнений парабол:

y = x^2 = 2^2 = 4

Таким образом, точка пересечения парабол - (2, 4).

Шаг 3: Найдем угол наклона касательных в точке (2, 4). Для этого вычислим производные обеих парабол и подставим x = 2:

Для y = x^2: y' = d(x^2)/dx = 2x y'(2) = 2 * 2 = 4

Для y = 8 - x^2: y' = d(8-x^2)/dx = -2x y'(2) = -2 * 2 = -4

Шаг 4: Найдем угол между касательными. Угол между двумя касательными к кривым в точке их пересечения равен арктангенсу от разности их углов наклона. Таким образом, угол между параболами в точке пересечения будет:

Угол = arctan(|(y'(1) - y'(2)) / (1 + y'(1) * y'(2))|)

Подставим значения:

Угол = arctan(|(4 - (-4)) / (1 + 4 * (-4))|) = arctan(|(4 + 4) / (1 - 16)|) = arctan(|8 / (-15)|) ≈ arctan(0.5333) ≈ 29.05° (приближенно)

Таким образом, острый угол между параболами y = x^2 и y = 8 - x^2 в их точке пересечения (2, 4) составляет примерно 29.05°.