Question

Найти острый угол между параболами y=x^2 y=2-x^2 в той точке их пересечения, которая имеет положительную абсциссу

Answer 1

Находим точку пересечения.

x^2 =2-x^2,

2x^2 =2,

х = +-1.

Принимаем по заданию точку пересечения, которая имеет положительную абсциссу. Это точка А(1; 1).

Угол наклона касательной к оси Ох равен производной функции в точке касания.

y = x^2 y' = 2x⇒ x= 1 ⇒ y' = 2.

y=2-x^2, y' = -2x ⇒ x= 1 ⇒ y' = -2.

Отсюда видно, что касательные симметричны относительно вертикальной линии, проходящей через точку их пересечения.

Ответ: угол равен 2arc tg(1/2) = 53,13 градуса.

Можно искать угол по формуле tg(α+β) = (tgα +tgβ)/(1-tgα*tgβ).

Получим угол -53,13 градуса или 180 - 53,13 = 126,87 это тупой угол по часовой стрелке от касательной с положительным угловым коэффициентом до касательной с отрицательным угловым коэффициентом..

Острый же угол равен полученному по этой формуле по модулю.

Answer 2

Для нахождения угла между кривыми в их точке пересечения, нам необходимо найти угол наклона касательных к этим кривым в этой точке.

Первоначально найдем точку пересечения парабол. Приравняв уравнения, получим:

$x^2 = 2 - x^2$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем две точки пересечения: $x = 1$ и $x = -1$. Так как мы ищем точку с положительной абсциссой, то выбираем $x = 1$.

Теперь найдем производные обеих функций. Для $y = x^2$ производная равна $2x$, а для $y = 2 - x^2$ равна $-2x$.

В точке $x = 1$ значения производных равны $2$ и $-2$ соответственно. Это означает, что угол между касательными к этим параболам в точке пересечения равен углу, образованному этими двумя наклонами.

Таким образом, угол между параболами в этой точке равен углу между прямыми, у которых угловые коэффициенты равны $2$ и $-2$. Это означает, что угол между касательными равен $\arctan(2) + \arctan(2) = 2\arctan(2)$.

Итак, острый угол между параболами $y = x^2$ и $y = 2 - x^2$ в точке их пересечения, где $x = 1$, равен $2\arctan(2)$.