Question

Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки F(1;0) равно расстоянию до прямой Y=3. Сделать чертеж.

Answer 1

Это парабола, ветви вниз.

Answer 2

Чтобы составить уравнение линии, у которой расстояние от каждой точки до точки F(1;0) равно расстоянию до прямой Y=3, мы можем воспользоваться свойствами эллипса. Такая линия будет представлять собой эллипс с фокусами в точке F(1;0) и на прямой Y=3.

Уравнение эллипса с фокусами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) имеет вид:

((x - x₁)² / a²) + ((y - y₁)² / b²) = 1,

где a - расстояние от центра эллипса до вертикальной оси (ось X), b - расстояние от центра эллипса до горизонтальной оси (ось Y).

Так как фокусы эллипса у нас заданы, F(1;0), и фокусы симметричны относительно прямой Y=3, то a = 1 и b = 3 (расстояние от точки F до прямой Y=3).

Таким образом, уравнение эллипса примет вид:

((x - 1)² / 1²) + ((y - 0)² / 3²) = 1,

(x - 1)² / 1 + (y)² / 9 = 1,

(x - 1)² + (y)² / 9 = 1.

Для наглядности чертежа, давайте нарисуем этот эллипс на координатной плоскости:

markdownCopy code
   |    .
 3 |    .   * F(1,0)
   |  .   .
 2 |    .
   |
 1 |
   |_________________
     1   2   3   4   5

На этом графике пунктиром отмечена прямая Y=3, а кругом обозначен эллипс с фокусами в точке F(1;0) и на прямой Y=3. Эллипс касается прямой Y=3 в точках (1,3) и (1,-3).

Заметим, что все точки на эллипсе удовлетворяют условию, что расстояние от них до точки F(1;0) равно расстоянию до прямой Y=3.