Question

Для функции f(x)=1/x найдите первообразную график которой проходит через точку (е;2) (Ответ знаю покажите решение пожалуйста)

Answer 1

Решение смотрите на фотографии

Answer 2

Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ нужно найти её первообразную (интеграл), проходящую через точку $(e, 2)$.

Первообразной функции $f(x)$ называется функция $F(x)$, такая, что $F'(x) = f(x)$.

Для нахождения первообразной воспользуемся методом интегрирования:

F(x) &= \int f(x) \, dx \\ F(x) &= \int \frac{1}{x} \, dx \end{align*}\] Интегрируем правую часть по переменной \(x\): \[\begin{align*} F(x) &= \ln|x| + C \end{align*}\] где \(C\) — константа интегрирования. Теперь, чтобы найти значение константы \(C\), используем условие прохождения графика через точку \((e, 2)\): \[\begin{align*} F(e) &= \ln|e| + C = \ln e + C = 1 + C = 2 \end{align*}\] Отсюда получаем \(C = 2 - 1 = 1\). Таким образом, первообразная функции \(f(x) = \frac{1}{x}\) проходит через точку \((e, 2)\) имеет вид: \[F(x) = \ln|x| + 1\] Проверим это: \[\begin{align*} F(e) &= \ln|e| + 1 = \ln e + 1 = 1 + 1 = 2 \end{align*}\] Таким образом, график первообразной \(F(x) = \ln|x| + 1\) функции \(f(x) = \frac{1}{x}\) проходит через точку \((e, 2)\).