Question

Решите уравнение: cos2x +13 sinx + 6 = 0  P.S. (  - sin²x) - sin²x +13 sinx +6 а дальше как?

Answer 1

$cos2x=cos^2x-sin^2x \\ cos2x=1-sin^2x-sin^2x \\ cos2x=1-2sin^2x \\ \\ \\ 1-2sin^2x+13sinx+6=0 \\ 2sin^2x-13sinx-7=0 \\ D=169+56=15^2 \\ sinx_1= \frac{13+15}{4}=7 \\ sinx_2= -\frac{1}{2}$

область значения sinx [-1;1]
решаем sinx=-0.5

$sinx=- \frac{1}{2} \\ \\ x=(-1)^{k+1} \frac{ \pi }{6} + \pi k, k \in Z$

Answer 2

Давайте решим уравнение. У нас дано уравнение:

cos(2x) + 13sin(x) + 6 = 0

Предлагаю воспользоваться подсказкой, которую вы дали:

(-sin²x) - sin²x + 13sinx + 6

Обратите внимание, что (-sin²x) - sin²x = -2sin²x. Заменим это значение в исходном уравнении:

cos(2x) - 2sin²x + 13sin(x) + 6 = 0

Теперь, давайте посмотрим, можем ли мы преобразовать выражение cos(2x) + 13sin(x) + 6, чтобы оно стало похожим на cos(2x) - 2sin²x.

Мы знаем формулу двойного угла для косинуса: cos(2x) = 1 - 2sin²x.

Заменим cos(2x) на 1 - 2sin²x:

1 - 2sin²x - 2sin²x + 13sin(x) + 6 = 0

Теперь объединим похожие члены:

-4sin²x + 13sin(x) + 7 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Чтобы решить его, представим -4sin²x + 13sin(x) + 7 = 0 в виде:

(-4sin²x + 8sin(x)) + (5sin(x) + 7) = 0

Теперь выносим общий множитель:

-4sin(x)(sin(x) - 2) + 5(sin(x) + 7) = 0

Таким образом, у нас два возможных уравнения:

1. -4sin(x)(sin(x) - 2) = 0
2. 5(sin(x) + 7) = 0

Решим первое уравнение:

-4sin(x)(sin(x) - 2) = 0

1. sin(x) = 0

2. sin(x) - 2 = 0

3. sin(x) = 0 имеет решение x = 0 и x = π.

4. sin(x) - 2 = 0 не имеет решений, так как sin(x) ограничен значениями от -1 до 1, а 2 не входит в этот диапазон.

Теперь решим второе уравнение:

5(sin(x) + 7) = 0

sin(x) + 7 = 0

sin(x) = -7

Это уравнение не имеет решений, так как sin(x) ограничен значениями от -1 до 1, а -7 не входит в этот диапазон.

Таким образом, уравнение cos(2x) + 13sin(x) + 6 = 0 не имеет решений.