Question

Интеграл от 0 до п/2 (1 - 2sin^2 x/3) dx

Answer 1

1)
сosx * dx = d (sin(x))
интеграл от 0 до п/2 (сosx)/(корень кубичный под ним sin^2x) все это *dx =
интеграл от 0 до п/2 d(sinx)/(корень кубичный под ним sin^2x) =
интеграл от 0 до п/2 d(sinx)* (sin(x))^(-2/3) =3* (sin(x))^(1/3)(в подстановке по х от 0 до п/2) = 3
2) домножь числитель и знаменатель на cos(x/3)
сosx/3 * dx = d (sin(x/3)) / 3
cos^2 = 1-sin^2
дальше -аналогично
3)
sin(x) * dx = -d (cos(x))

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, давайте последовательно разберемся с каждой частью выражения.

Интеграл от 1 до п/2 dx равен x, а интеграл от sin^2(x) dx равен x/2 - sin(2x)/4.

Теперь вычислим интеграл от (2/3)sin^2(x) dx. Для этого заметим, что (2/3)sin^2(x) = (2/3)*(1 - cos(2x))/2 = (1/3) - (cos(2x)/3).

Таким образом, интеграл от (2/3)sin^2(x) dx равен (1/3)x - (sin(2x)/6).

Теперь найдем итоговый интеграл:

∫[0, п/2] (1 - 2sin^2(x)/3) dx = ∫[0, п/2] (1 - (2/3)sin^2(x)) dx = ∫[0, п/2] (1 - (1/3) + (cos(2x)/3)) dx = ∫[0, п/2] (2/3 + (cos(2x)/3)) dx = (2/3)x + (sin(2x)/6) |[0, п/2] = (2/3)*(п/2) + (sin(п)/6) - (2/3)*0 - (sin(0)/6) = п/3 + 0 - 0 - 0 = п/3.

Таким образом, интеграл от 0 до п/2 от (1 - 2sin^2 x/3) равен п/3.