Question

ДАМ Много баллов Докажите, что при х (0; п/2) справедливо неравенство sinx > x*cosx. с объяснением плиз

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Хорошо, давайте докажем неравенство для x в интервале (0, π/2):

Неравенство: sin(x) > x * cos(x)

Для доказательства этого неравенства, воспользуемся производной функции sin(x). Для x в интервале (0, π/2), обе функции sin(x) и x * cos(x) являются гладкими функциями, их производные существуют.

1. Вычисление производной sin(x): d/dx (sin(x)) = cos(x)

2. Вычисление производной x * cos(x): d/dx (x * cos(x)) = cos(x) - x * sin(x)

Теперь давайте проанализируем знаки производных в интервале (0, π/2):

В точках x = 0 и x = π/2, значения sin(x) и x * cos(x) равны 0.

В интервале (0, π/2), значение cos(x) положительно, так как cos(0) = 1, а cos(π/2) = 0. Также видим, что значение sin(x) положительно в этом интервале.

Теперь сравним производные:

a) При x = 0: cos(0) = 1 (производная sin(x) в точке x = 0) cos(0) - 0 * sin(0) = 1 > 0

b) При x = π/2: cos(π/2) = 0 (производная sin(x) в точке x = π/2) cos(π/2) - (π/2) * sin(π/2) = 0 - (π/2) * 1 = -π/2 < 0

Из пунктов a) и b) следует, что производная sin(x) положительна в интервале (0, π/2), а производная x * cos(x) отрицательна в этом интервале.

Таким образом, у нас есть следующее:

sin(x) > 0 (поскольку sin(x) положителен в интервале (0, π/2)) x * cos(x) < 0 (поскольку x * cos(x) отрицателен в интервале (0, π/2))

Теперь, чтобы доказать исходное неравенство sin(x) > x * cos(x), осталось убедиться, что sin(x) больше, чем x * cos(x) во всем интервале (0, π/2), а не только при x = 0 и x = π/2.

Мы уже знаем, что оба выражения равны 0 в точках x = 0 и x = π/2. Кроме того, производная sin(x) положительна в интервале (0, π/2), что означает, что функция sin(x) возрастает в этом интервале. Также производная x * cos(x) отрицательна в этом интервале, что говорит о том, что функция x * cos(x) убывает.

Таким образом, в интервале (0, π/2), функция sin(x) больше, чем функция x * cos(x), начиная с x = 0 и до x = π/2.

Это завершает доказательство неравенства sin(x) > x * cos(x) для x в интервале (0, π/2).