Question

5^(1+2/x)-7*10^(1/x)+2*4^(1/x)=0 помогите пожалуйста решить, с объяснениями если можно( показательные уравнения

Answer 1

Решение на приложенных изображениях.

Answer 2

Давайте решим данное показательное уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение:

$5^{1 + \frac{2}{x}} - 7 \cdot 10^{\frac{1}{x}} + 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} = 0.$

Чтобы решить это уравнение, давайте заменим некоторые выражения и приведем его к более простому виду. Обратим внимание, что $10 = 2 \cdot 5$, а $4 = 2^2$, поэтому:

$5^{1 + \frac{2}{x}} - 7 \cdot 10^{\frac{1}{x}} + 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} = 5^{1 + \frac{2}{x}} - 7 \cdot 2^{\frac{1}{x}} \cdot 5^{\frac{1}{x}} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{x}} = 0.$

Теперь давайте проведем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Положим $y = 5^{\frac{1}{x}}$, тогда $y^2 = 5^{\frac{2}{x}}$ и $y^3 = 5^{1 + \frac{2}{x}}$. Теперь у нас есть:

$y^3 - 7 \cdot 2^{\frac{1}{x}} \cdot y + 2 \cdot 2^{\frac{2}{x}} = 0.$

Данное уравнение имеет степень 3 и является кубическим уравнением. Кубические уравнения могут быть решены различными методами. Но, на этом этапе, мы заменим $2^{\frac{1}{x}}$ и $2^{\frac{2}{x}}$ на новые переменные, чтобы упростить уравнение еще больше.

Положим $u = 2^{\frac{1}{x}}$ и $v = 2^{\frac{2}{x}} = (2^{\frac{1}{x}})^2 = u^2$. Теперь у нас имеется следующая система уравнений:

$\begin{cases} y^3 - 7u \cdot y + 2v = 0, \\ u = 2^{\frac{1}{x}}, \\ v = 2^{\frac{2}{x}}. \end{cases}$

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Сначала решим второе уравнение относительно $u$:

$u = 2^{\frac{1}{x}} \Rightarrow u^x = 2 \Rightarrow u = 2^{\frac{1}{x}} = 2^{\frac{x}{x}} = 2^1 = 2.$

Теперь решим третье уравнение относительно $v$:

$v = 2^{\frac{2}{x}} = (2^{\frac{1}{x}})^2 = u^2 = 2^2 = 4.$