Question

Найдите наименьшее целое значение k, при котором уравнение x^2−2(k+2)x+12+k^2=0 имеет два различных действительных корня.

Answer 1

Если уравнение имеет 2 различных действительных корня, то D > 0.
У нас коэффициент b = -2(k+2) четный, поэтому проще считать D/4.
D/4 = (b/2)^2 - ac = (k+2)^2 - (12+k^2) > 0
k^2 + 4k + 4 - 12 - k^2 > 0
4k - 8 = 4(k - 2) > 0
k > 2
Наименьшее целое k = 3
x^2 - 2*5x + 12 + 9 = x^2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7) = 0
x1 = 3; x2 = 7

Answer 2

Чтобы уравнение x^2 - 2(k+2)x + 12 + k^2 = 0 имело два различных действительных корня, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть больше нуля.

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В данном случае у нас a = 1, b = -2(k+2) и c = 12 + k^2.

Таким образом, дискриминант D равен:

D = (-2(k+2))^2 - 4 * 1 * (12 + k^2) D = 4(k+2)^2 - 4(12 + k^2) D = 4(k^2 + 4k + 4) - 4(12 + k^2) D = 4k^2 + 16k + 16 - 48 - 4k^2 D = 16k - 32

Теперь нам нужно найти наименьшее целое значение k, при котором D > 0, чтобы уравнение имело два различных действительных корня.

16k - 32 > 0 16k > 32 k > 32 / 16 k > 2

Таким образом, наименьшее целое значение k, при котором уравнение имеет два различных действительных корня, составляет k = 3.