Question

Знайти точки максимуму і мінімуму f(x)=x∧3－3x∧2

Answer 1

Точки максимума, минимума - это точки экстремума функции. Это точки, в которых производная = 0 и при переходе через эти точки меняет знак.
Так что ищем производную, приравниваем к 0 и смотрим смнеу знака.
f(x) = x³ - 3x²
f'(x) = 3x² -6x
3x² -6x = 0
x(3x -6) = 0
x = 0            или           3х -6 = 0
                                      х = 2
-∞                  0                2                +∞
         +                      -              +            это знаки f'(x) = 3x² -6x
возрастание  убывание  возрастание
Ответ: х = 0   это точка максимума
            х = 2   это точка минимума.

Answer 2

Для знаходження точок максимуму і мінімуму функції f(x) = x^3 - 3x^2, спочатку знайдемо її похідну і прирівняємо її до нуля, щоб знайти критичні точки. Потім дослідимо знаки похідної навколо критичних точок, щоб з'ясувати, де функція має максимум або мінімум.

1. Знайдемо похідну f'(x): f'(x) = d/dx (x^3 - 3x^2) f'(x) = 3x^2 - 6x

2. Прирівняємо f'(x) до нуля і знайдемо критичні точки: 3x^2 - 6x = 0 x(3x - 6) = 0

Таким чином, маємо дві критичні точки: x = 0 3x - 6 = 0 3x = 6 x = 2

3. Дослідимо знаки похідної f'(x) в проміжках між та навколо критичних точок:

Проміжок (-∞, 0): Візьмемо значення x = -1 (відносно між -∞ і 0): f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 (положитний)

Проміжок (0, 2): Візьмемо значення x = 1 (відносно між 0 і 2): f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 (від'ємний)

Проміжок (2, +∞): Візьмемо значення x = 3 (відносно між 2 і +∞): f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 (положитний)

4. Визначимо характер точок, використовуючи знаки похідної:

• Точка x = 0: f'(x) змінює знак із плюсу на мінус, тому функція має локальний максимум у точці x = 0.

• Точка x = 2: f'(x) змінює знак із мінусу на плюс, тому функція має локальний мінімум у точці x = 2.

5. Знаходимо значення функції f(x) у точках максимуму і мінімуму:

• Максимум: f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 = 0

• Мінімум: f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4

Отже, точка максимуму: (0, 0) Точка мінімуму: (2, -4)