Question

Знайти точки максимуму і мінімуму функції f(x) = 0.5x - x^4

Answer 1

f(x) = 0,5x - x^4

D(f) = (-00; +00)

f'(x) = 0,5 - 4x^3

f'(x) = 0 при: 0,5 - 4x^3 = 0

x^3 = 1/8

x = 1/2

f'(x) : + -

--------------|------------->x

½

f(x) возрастает на (-00; ½)

f(x) убывает на (½; +00)

max f(x) = f(½) = 0,5•½ - (½)^4 = 1/4 - 1/16 = 3/16

min f(x) - нет

Answer 2

Щоб знайти точки максимуму і мінімуму функції $f(x) = 0.5x - x^4$, спочатку треба знайти похідну цієї функції і розв'язати рівняння для знаходження критичних точок, де похідна дорівнює нулю.

1. Знайдемо похідну функції $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} (0.5x - x^4)$ $f'(x) = 0.5 - 4x^3$

2. Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння $f'(x) = 0$: $0.5 - 4x^3 = 0$ $4x^3 = 0.5$ $x^3 = \frac{0.5}{4}$ $x^3 = 0.125$

Тепер візьмемо кубічний корінь з обох боків рівняння: $x = \sqrt[3]{0.125}$ $x = 0.5$

Таким чином, отримали критичну точку $x = 0.5$.

3. Тепер знайдемо значення функції $f(x)$ в цій критичній точці та на кінцях області, яку ми розглядаємо (може бути безкінечність на кінцях).

a) $f(0.5)$: $f(0.5) = 0.5(0.5) - (0.5)^4$ $f(0.5) = 0.25 - 0.0625$ $f(0.5) = 0.1875$

b) Розглянемо поведінку функції на кінцях. При $x \to -\infty$ та $x \to +\infty$ функція $f(x)$ дорівнює від'ємній безкінечності, оскільки ступінь $x^4$ переважає ростущий лінійний член $0.5x$.

Отже, у нас є дві точки для аналізу:

• Мінімум при $x = 0.5$ зі значенням $f(x) = 0.1875$.
• Функція безкінечності на кінцях, але максимуму на заданому інтервалі немає.

Зауважте, що цей аналіз виконується на заданому інтервалі. Якщо інтервал розширюється, можуть з'явитися додаткові точки максимуму або мінімуму.