Question

Составить уравнения для задач: 1. Мяч упал в реку. Через 2 мин Петя поплыл за мячиком и через 2 мин догнал его. С какой скоростью плыл Петя, если скорость течения реки равна 35 м/мин? 2. Расстояние между пристанями прогулочный теплоход проплывает  по течению за 3 ч со скоростью 24 км/ч, а за 4 ч возвращается обратно. Какова скорость теплохода в стоячей воде и скорость течения реки?

Answer 1

1.

х м/мин - скорость Пети
х+35 м/мин - скорость по течению
2+2  мин - время в пути мяча
2 мин - время в пути Пети

2*(х+35)=4*35
2х+70=140
2х=70
х=70:2
х=35(м/мин) - скорость Пети

2.

х  км/ч - скорость течения
24 - х  км/ч - скорость теплохода
24  км/ч - скорость по течению
24 - х - х  км/ч - скорость против течения
24 * 3  км - расстояние

24*3=72(км) - расстояние
72/(24-2х) - 72/24=4-3
72/(24-2х) - 72/24=1
72*24 - 72(24-2х)=24*(24-2х)
72(24-24+2х)=24*(24-2х)     (сокращаем на 24)
24-24+2х=24-2х
2х+2х=24
4х=24
х=6(км/ч) - скорость течения
24-6=18(км/ч) - скорость теплохода

Answer 2

1. Пусть $V$ - скорость Пети в стоячей воде (скорость пловца), $V_r$ - скорость течения реки.

Время, за которое Петя догнал мячик, равно 2 минуты (или 2/60 часа). За это время мячик проплыл расстояние $S$ (в расчете относительно берега) со скоростью течения реки $V_r$:

$S = V_r \cdot \frac{2}{60}$

Когда Петя поплыл за мячиком, он двигался со скоростью $V + V_r$ (скорость пловца и скорость течения). Так как Петя догнал мячик, то он проплыл такое же расстояние $S$ за 2 минуты:

$S = (V + V_r) \cdot \frac{2}{60}$

Теперь мы имеем два уравнения:

$V_r \cdot \frac{2}{60} = (V + V_r) \cdot \frac{2}{60}$

Это уравнение можно упростить:

$V_r = V + V_r$

Теперь избавимся от $V_r$ в правой части уравнения, перенеся $V_r$ на левую сторону:

$V_r - V_r = V$

$0 = V$

Таким образом, мы получили, что скорость Пети в стоячей воде $V$ равна нулю. Это значит, что Петя плыл постоянно с течением реки.

2. Пусть $V_t$ - скорость теплохода в стоячей воде, $V_r$ - скорость течения реки.

Теплоход движется по течению и возвращается обратно. Поэтому время, за которое он проплывет расстояние $S$ по течению, равно 3 часа, а время, за которое он вернется обратно, равно 4 часа.

Сначала рассмотрим движение теплохода по течению. Оно описывается уравнением:

$S = (V_t + V_r) \cdot 3$

Теперь рассмотрим движение теплохода против течения. Оно описывается уравнением:

$S = (V_t - V_r) \cdot 4$

У нас есть два уравнения:

$(V_t + V_r) \cdot 3 = S$ $(V_t - V_r) \cdot 4 = S$

Теперь можем выразить $S$ из обоих уравнений и приравнять их:

$(V_t + V_r) \cdot 3 = (V_t - V_r) \cdot 4$

Теперь рассчитаем $V_t$:

$3V_t + 3V_r = 4V_t - 4V_r$

$4V_r + 4V_t - 3V_t = 3V_r$

$V_t = \frac{3V_r}{4}$

Таким образом, скорость теплохода в стоячей воде $V_t$ равна $\frac{3V_r}{4}$, а скорость течения реки $V_r$ равна $\frac{4V_t - 3V_r}{3}$.