Question

Решить неравенства методом интервалов (x + 1)^3(-2x + 6)/3x+21<0

Answer 1

$\frac{(x + 1)^3(-2x + 6)}{3x+21}\ \textless \ 0\\\\ \frac{(x+1)^3*(-2)*(x-3)}{3*(x+7)}\ \textless \ 0\ \ |\ \ *\ \ -\frac{3}{2}\\\\ \frac{(x+1)^3*(x-3)}{x+7}\ \textgreater \ 0\\\\ \frac{[x-(-1)]^3*[x-3]}{x-(-7)}\ \textgreater \ 0\\\\ ------(-7)+++++(-1)-----(3)+++++\ \textgreater \ x\\\\ x\in(-7;\ -1)\cup(3;\ +\infty)$

Ответ:  $(-7;\ -1)\cup(3;\ +\infty)$

Answer 2

Для решения данного неравенства методом интервалов, сначала найдем его критические точки и определим знак выражения на каждом из полученных интервалов.

Итак, дано неравенство: $\frac{(x + 1)^3(-2x + 6)}{3x + 21} < 0.$

1. Найдем критические точки, которые являются корнями числителя и знаменателя:

Числитель равен нулю, когда: $(x + 1)^3(-2x + 6) = 0.$

Таким образом, получаем две критические точки: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1.$ $-2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3.$

Знаменатель равен нулю, когда: $3x + 21 = 0.$

Отсюда получаем еще одну критическую точку: $3x = -21 \Rightarrow x = -7.$

2. Теперь определим знак выражения на каждом интервале:

Интервал 1: $-\infty < x < -7$ Проверим значение выражения в точке x = -8 (любая точка меньше -7), например: $\frac{(-8 + 1)^3(-2 \cdot (-8) + 6)}{3 \cdot (-8) + 21} = \frac{(-7)^3(22)}{-15} = \frac{-22 \cdot 343}{-15} > 0.$ Таким образом, на этом интервале выражение больше нуля.

Интервал 2: $-7 < x < -1$ Проверим значение выражения в точке x = -3 (любая точка между -7 и -1), например: $\frac{(-3 + 1)^3(-2 \cdot (-3) + 6)}{3 \cdot (-3) + 21} = \frac{(-2)^3(12)}{12} = 8 > 0.$ Таким образом, на этом интервале выражение больше нуля.

Интервал 3: $-1 < x < 3$ Проверим значение выражения в точке x = 0 (любая точка между -1 и 3), например: $\frac{(0 + 1)^3(-2 \cdot 0 + 6)}{3 \cdot 0 + 21} = \frac{1^3(6)}{21} = \frac{6}{21} < 0.$ Таким образом, на этом интервале выражение меньше нуля.

Интервал 4: $x > 3$ Проверим значение выражения в точке x = 4 (любая точка больше 3), например: $\frac{(4 + 1)^3(-2 \cdot 4 + 6)}{3 \cdot 4 + 21} = \frac{5^3(-2)}{33} = \frac{-250}{33} < 0.$ Таким образом, на этом интервале выражение меньше нуля.

3. Наконец, объединим результаты:

Исходное неравенство выполняется на интервалах: $-\infty < x < -7$ и $3 < x < +\infty$.

Таким образом, решением неравенства является объединение этих интервалов: $x \in (-\infty, -7) \cup (3, +\infty).$