Question

Тема: Произведение и частное комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Возведите комплексное число в степень:(3(cos π/15 + i sin π/15))⁵

Answer 1

$z=r*[cos(\phi)+i*sin(\phi)]\\\\ z^n=(r*[cos(\phi)+i*sin(\phi)])^n=r^n*[cos(n\phi)+i*sin(n\phi)]\\\\\\ (3*[cos(\frac{\pi}{15})+i*sin(\frac{\pi}{15})])^5=3^5*[cos(5*\frac{\pi}{15})+i*sin(5*\frac{\pi}{15})]=\\\\ =243*[cos(\frac{\pi}{3})+i*sin(\frac{\pi}{3})].$

Answer 2

Для возведения комплексного числа в степень, заданного в тригонометрической форме, можно воспользоваться формулой Муавра. Формула Муавра позволяет найти степень комплексного числа в тригонометрической форме, выражая результат в виде тригонометрической формы.

Формула Муавра: Если комплексное число задано в тригонометрической форме z = r(cos θ + i sin θ), то его степень n можно найти по формуле:

zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)

В вашем случае, дано комплексное число: z = 3(cos(π/15) + i sin(π/15))

И нужно найти его пятую степень: z⁵ = 3⁵(cos(5(π/15)) + i sin(5(π/15)))

Выполним вычисления: z⁵ = 243(cos(π/3) + i sin(π/3))

Теперь представим ответ в тригонометрической форме: z⁵ = 243(cos(60°) + i sin(60°))

Ответ: (3(cos π/15 + i sin π/15))⁵ = 243(cos 60° + i sin 60°)