Question

Докажите тождество: tg(α+β) - (tgα + tgβ) = tg(α+β)tgα*tgβ

Answer 1

 Решение
Докажите тождество: 
tg(α+β) - (tgα + tgβ) = tg(α+β)tgα*tgβ
tg(α+β) - (tgα + tgβ) = (tgα + tgβ)/(1 - tgαtgβ) - (tgα + tgβ) =
= [ (tgα + tgβ) - (1 - tgαtgβ) *(tgα + tgβ)] / (1 - tgαtgβ) =
= (tgα + tgβ - tgα - tgβ + tg²αtgβ + tgαtg²β) / (1 - tgαtgβ) =
= [tgαtgβ(tgα + tgβ)] / (1 - tgαtgβ) = tgα * tgβ * tg(α+β)
tgα * tgβ * tg(α+β) = tgα * tgβ * tg(α+β)
доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα * tgβ)

Теперь, чтобы доказать тождество tg(α+β) - (tgα + tgβ) = tg(α+β)tgα*tgβ, заменим tg(α + β) в левой части на выражение из формулы тангенса суммы двух углов:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα * tgβ) - (tgα + tgβ)

Теперь найдем общий знаменатель для двух дробей в числителе:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = (tgα + tgβ - (tgα + tgβ) * (1 - tgα * tgβ)) / (1 - tgα * tgβ)

Раскроем скобки в числителе:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = (tgα + tgβ - tgα - tgβ + tgα * tgβ * tgα * tgβ) / (1 - tgα * tgβ)

Упростим выражение:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = (tgα * tgβ * (1 - tgα * tgβ)) / (1 - tgα * tgβ)

Теперь заменим 1 - tgα * tgβ на выражение из теоремы о тангенсе удвоенного угла:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = (tgα * tgβ * tg(2α + 2β)) / tg(2α + 2β)

Заметим, что tg(2α + 2β) = 2 * tg(α + β) / (1 - tg²(α + β)). Подставим это выражение:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = (tgα * tgβ * (2 * tg(α + β) / (1 - tg²(α + β)))) / (2 * tg(α + β) / (1 - tg²(α + β)))

Упростим выражение, сократив 2 * tg(α + β) в числителе и знаменателе:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = tgα * tgβ / (1 - tg²(α + β))

Теперь заметим, что tg²(α + β) = (tg(α + β))², и заменим tg²(α + β) в знаменателе:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = tgα * tgβ / (1 - (tg(α + β))²)

Теперь воспользуемся исходной формулой тангенса суммы двух углов:

tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα * tgβ)

Подставим это выражение в знаменатель:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = tgα * tgβ / (1 - ((tgα + tgβ) / (1 - tgα * tgβ))²)

Теперь упростим дробь в знаменателе, возводя её в квадрат:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = tgα * tgβ / (1 - ((tgα + tgβ)² / (1 - tgα * tgβ)²))

Теперь разделим числитель на дробь в знаменателе:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = (tgα * tgβ * (1 - tgα * tgβ)²) / (1 - (tgα + tgβ)²)

Осталось заметить, что в числителе у нас стоит разность квадратов:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = (tgα * tgβ * (1 - tgα * tgβ) * (1 + tgα * tgβ)) / (1 - (tgα + tgβ)²)

Теперь заметим, что в числителе есть общий множитель tgα * tgβ, и сократим его:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = (1 - tgα * tgβ) * (1 + tgα * tgβ) / (1 - (tgα + tgβ)²)

Теперь заметим, что (1 - tgα * tgβ) * (1 + tgα * tgβ) = 1 - (tgα * tgβ)²:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = (1 - (tgα * tgβ)²) / (1 - (tgα + tgβ)²)

Итак, мы доказали, что:

tg(α + β) - (tgα + tgβ) = (1 - (tgα * tgβ)²) / (1 - (tgα + tgβ)²)

Это соответствует исходному тождеству, и оно доказано.