Question

Решите пожалуйста:xy''+y'+x=0, у(1)=0,5; у'(0)=0

Answer 1

X*y''+y' = d/dx (x*y')
d/dx (x*y') = -x
x*y' = -1/2*x^2 + C1
y' = -1/2*x + C1/x
y = -1/4*x^2 + C1*ln(x) + C2

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями, предположим, что решение может быть записано в виде степенного ряда:

$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

где $a_n$ - коэффициенты степенного ряда, которые нужно найти.

Теперь найдем производные функции $y(x)$:

$y'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^n$

$y''(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение $xy''+y'+x=0$:

$\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n+1} + \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0$

Теперь объединим все суммы в одну:

$\sum_{n=0}^{\infty} [(n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n+1} + (n+1) a_{n+1} x^{n} + a_n x^n] = 0$

Поскольку это верно для любого $x$, коэффициенты при каждой степени $x^n$ должны быть равны нулю. Таким образом, получим рекуррентное соотношение для коэффициентов:

$(n+2)(n+1) a_{n+2} + (n+1) a_{n+1} + a_n = 0$

Теперь найдем первые несколько коэффициентов:

$n = 0: \quad 2a_2 + a_1 + a_0 = 0$ $n = 1: \quad 6a_3 + 2a_2 + a_1 = 0$ $n = 2: \quad 12a_4 + 3a_3 + 2a_2 = 0$

Теперь применим начальные условия $y(1) = 0.5$ и $y'(0) = 0$:

$y(1) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \ldots = 0.5$

$$ 0 0