Question

Решите тригонометрическое уравнение: 2sin²3x-1=cosx

Answer 1

-cos6x=cos3x
Cos3x+cos6x=0
Cos3x +2cos^(2)3x-1=0
Cos3x=a. -1<=a<=1
2a^(2)+a-1=0
D=1+8=9
A1=(-1+3)/2=1
A2=(-1-3)/2=-2 - не подходит по ограничению а

Cos3x=1. (P-число Пи=3.14)
3x=Pk, k є Z
х = (Р/3)*k , k є Z

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения нужно использовать тригонометрические тождества и алгебраические методы. Давайте начнем:

1. Заменим sin²(3x) с использованием тригонометрического тождества: sin²(θ) = (1 - cos(2θ)) / 2.
2. Заменим sin²(3x) в уравнении и приведем его к виду, содержащему только cos(x):

2 * ((1 - cos(6x)) / 2) - 1 = cos(x).

3. Упростим выражение, избавившись от дроби и умножив обе части уравнения на 2:

1 - cos(6x) - 2 = 2 * cos(x).

4. Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

• cos(6x) - 2 * cos(x) - 1 = 0.

5. Для удобства заменим cos(6x) с использованием формулы двойного угла: cos(2θ) = 2 * cos²(θ) - 1.

Теперь у нас получится:

• (2 * cos²(3x) - 1) - 2 * cos(x) - 1 = 0.

6. Объединим члены:

2 * cos²(3x) - 2 * cos(x) - 2 = 0.

7. Разделим уравнение на 2:

cos²(3x) - cos(x) - 1 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(3x). Давайте решим его:

8. Заменим cos(3x) с использованием формулы двойного угла: cos(2θ) = 2 * cos²(θ) - 1.

cos²(3x) = (1 + cos(6x)) / 2.

9. Подставим обратно в наше уравнение:

(1 + cos(6x)) / 2 - cos(x) - 1 = 0.

10. Умножим обе части уравнения на 2 для избавления от дроби:

1 + cos(6x) - 2 * cos(x) - 2 = 0.

11. Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

cos(6x) - 2 * cos(x) - 1 = 0.

12. Для удобства заменим cos(6x) с использованием формулы двойного угла: cos(2θ) = 2 * cos²(θ) - 1.

Теперь у нас получится:

2 * cos²(3x) - 2 * cos(x) - 1 = 0.

13. Объединим члены:

cos²(3x) - cos(x) - 1 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(3x). Давайте решим его:

8. Заменим cos(3x) с использованием формулы двойного угла: cos(2θ) = 2 * cos²(θ) - 1.

cos²(3x) = (1 + cos(6x)) / 2.

9. Подставим обратно в наше уравнение:

(1 + cos(6x)) / 2 - cos(x) - 1 = 0.

10. Умножим обе части уравнения на 2 для избавления от дроби:

1 + cos(6x) - 2 * cos(x) - 2 = 0.

11. Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

cos(6x) - 2 * cos(x) - 1 = 0.

12. Для удобства заменим cos(6x) с использованием формулы двойного угла: cos(2θ) = 2 * cos²(θ) - 1.

cos(6x) = 2 * cos²(2x) - 1.

13. Подставим обратно в уравнение:

2 * cos²(2x) - 1 - 2 * cos(x) - 1 = 0.

14. Упростим:

2 * cos²(2x) - 2 * cos(x) - 2 = 0.

15. Разделим уравнение на 2:

cos²(2x) - cos(x) - 1 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(2x). Давайте решим его:

16. Решим квадратное уравнение:

cos(2x) = [cos(x) ± √(cos(x)² + 4)] / 2.

17. Теперь у нас есть два уравнения:

а) cos(2x) = [cos(x) + √(cos(x)² + 4)] / 2,

б) cos(2x) = [cos(x) - √(cos(x)² + 4)] / 2.

Решение уравнения будет включать решения обоих уравнений (а) и (б). Пожалуйста, обратите внимание, что в данном случае уравнение имеет несколько корней, и их точные значения зависят от значений cos(x). Если вы предоставите конкретное значение для x, я смогу помочь вам вычислить его корни.