Question

Вычислить обьем тела ограниченного поверхностями: z=x^2 , 3*x+2*y=12 , z=0 , y=0.

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Чтобы вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями, воспользуемся методом двойных интегралов в трехмерном пространстве.

Первым шагом определим границы интегрирования. Найдем точки пересечения данных поверхностей между собой:

1. z = x^2 и z = 0: Приравниваем z друг к другу: x^2 = 0, откуда x = 0. Получаем точку пересечения (0, 0, 0).

2. z = 0 и y = 0: Получаем точку пересечения (x, 0, 0).

3. z = x^2 и 3x + 2y = 12: Подставим значение z из первого уравнения во второе: x^2 = 12 - 3x - 2y. Это уравнение квадратной параболы, и чтобы найти точки пересечения, нужно решить систему уравнений. Однако заметим, что первое уравнение говорит нам, что z >= 0 для всех x и y. Значит, для точек пересечения должно выполняться условие 12 - 3x - 2y >= 0. При x = 0 получим 12 - 2y >= 0, откуда y <= 6. При y = 0 получим 12 - 3x >= 0, откуда x <= 4. Таким образом, у нас есть область для интегрирования на плоскости xy, ограниченная кривой 12 - 3x - 2y = 0, осью x и осью y.

Теперь у нас есть границы интегрирования для двойного интеграла по плоскости xy: 0 <= x <= 4 и 0 <= y <= 6.

Теперь находим пределы интегрирования по z: от нижней поверхности z = 0 до верхней поверхности z = x^2.

Таким образом, объем тела будет вычисляться следующим образом:

V = ∬(R) x^2 dA,

где R - область интегрирования на плоскости xy, описанная выше.

Теперь вычислим этот двойной интеграл:

V = ∫[0 to 4] ∫[0 to 6] x^2 dy dx.

Интегрируем сначала по y, затем по x:

V = ∫[0 to 4] [x^2 * y] [0 to 6] dx,

V = ∫[0 to 4] 6x^2 dx,

V = 6 * ∫[0 to 4] x^2 dx,

V = 6 * [x^3/3] [0 to 4],

V = 6 * [(4^3)/3 - (0^3)/3],

V = 6 * [64/3],

V = 128.

Ответ: Объем тела, ограниченного данными поверхностями, равен 128 единицам объема.